Euklides i jego matematyczny bestseller

W dzisiejszym wpisie cofniemy się o ponad 2.300 lat w przeszłość do kulturowego, handlowego i naukowego centrum ówczesnego świata - egipskiego portu, Aleksandrii. Miasto to, założone według starożytnych historyków w 332 roku przed naszą erą przez Aleksandra Macedońskiego na gruzach osady Rakotis, wydało wielu uczonych i filozofów, w tym, najbardziej chyba znanego w dziejach matematyka - Euklidesa. Paradoksalnie, wiemy o nim niewiele, choć wpływ jaki wywarł na ludzką cywilizację jest nie do przecenienia.

Euklides urodził się w Aleksandrii ok. 325 r. p.n.e., a zmarł ok. 265 r. p.n.e. Najprawdopodobniej odebrał wykształcenie w Akademii Platońskiej w Atenach, choć historycy nie mają co do tego pewności.

Co sprawiło, że imię Euklidesa przez ponad dwa tysiące lat znane było każdemu adeptowi matematyki z Europy Zachodniej, a także, choć tu już w mniejszym zakresie, ze świata arabskiego?

Otóż jest on autorem najbardziej znanego dzieła matematycznego: Elementów geometrii, zwanego po prostu skrótowo Elementami. Traktat ten, składający się z trzynastu ksiąg, uznawany głównie jako podręcznik do geometrii, zawiera pokaźną część wiedzy i matematycznych osiągnięć starożytnego świata. Elementy na przestrzeni lat doczekały się ponad tysiąca różnych wydań, co plasuje je na drugim miejscu "listy bestsellerów wszech czasów" zaraz za Biblią. Podobnie jak Biblia zresztą były jedną z pierwszych ksiąg wydanych drukiem.

Budowle starożytnego portu - Aleksandrii

Tym co wyróżniało Elementy na tle ówczesnych publikacji i stanowiło istotną nowość, było wprowadzenie dowodu matematycznego. Euklides nie uznawał prawdziwości żadnego matematycznego stwierdzenia, jeżeli nie było ono poparte ciągiem logicznych wywodów - sekwencji praw będących konsekwencją stwierdzeń uznanych wcześniej za prawdziwe.

Proces dowodzenia musi się jednak gdzieś rozpoczynać. Pewne stwierdzenia musimy zatem uznać za podstawowe i oczywiste. Takie fundamentalne, przyjmowane bez dowodu, założenia nazwał Euklides w swoim dziele postulatami, a we współczesnej matematyce znane są jako aksjomaty teorii matematycznych.

Najbardziej znany w historii układ aksjomatów, to właśnie pięć postulatów Euklidesa. Cztery pierwsze we współczesnym polskim tłumaczeniu Elementów brzmią:

1. Można poprowadzić prostą od któregokolwiek punktu do któregokolwiek punktu.

2. Ograniczoną prostą można przedłużyć nieskończenie.

3. Można zakreślić okrąg z któregokolwiek punktu jako środka dowolną odległością.

4. Wszystkie kąty proste są między sobą równe.

Piąty postulat, ze względu na swoją skomplikowaną budowę, przysporzył matematykom minionych epok wielu problemów. Uważali oni bowiem, że ze względu na swoją formę, wynika on z pozostałych czterech aksjomatów, czego bezskutecznie próbowali dowieść. Dopiero w XIX wieku udało się wykazać, że nie zależy on w żaden sposób od pozostałych. Jego treść w oryginalnej wersji brzmi:

5. Jeżeli prosta przecinająca dwie proste tworzy z nimi kąty jednostronnie wewnętrzne o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przedłużone nieskończenie przecinają się po tej stronie, po której znajdują się kąty o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych.

Nie sposób polemizować z opinią, że nie jest on ani tak prosty, ani tak oczywisty jak pozostałe. Istnieje jednak wiele stwierdzeń równoważnych piątemu postulatowi, w tym najpowszechniej znana szkolna jego wersja:

5'. Przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Cała znana nam doskonale geometria, to rezultat przyjęcia Euklidesowych postulatów, a więc wykładana w szkołach od przeszło dwóch tysięcy lat geometria Euklidesowa.

Elementy na papirusie z III wieku

Na zakończenie zastanówmy się nad pewnym myślowym eksperymentem: Skoro aksjomaty teorii matematycznych przyjmujemy jako oczywiste bez dowodu, to moglibyśmy również jako oczywiste przyjąć ich zaprzeczenia. W 1830 roku rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski zastąpił, idąc tym tropem, piąty postulat jego zaprzeczeniem:

~5. Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą

tworząc całkiem nową, sprzeczną z naszą intuicją geometrię hiperboliczną, w której na przykład suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni. Można również oprzeć się jedynie na czterech pierwszych aksjomatach. Otrzymamy wtedy tak zwaną geometrię absolutną.
Ale to już temat na całkiem inną okazję.

Polski tekst Elementów Euklidesa można znaleźć TUTAJ.

Czytaj dalej »

Leonhard Euler i królewieckie mosty

Przed świętami mogliśmy przeczytać o najpiękniejszym wzorze matematyki, podanym w XVIII wieku przez Leonharda Eulera. Nie jest to wszak jedyne osiągnięcie tego wybitnego matematyka. Jego wkład w rozwój matematyki jest tak wielki, że współczesny mu Pierre Simon de Laplace miał wyrazić się na jego temat "Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich".

Leonhard Euler dzięki stworzonym przez siebie licznym podręcznikom spopularyzował wiele konwencji zapisu matematycznego, miał olbrzymi wkład do analizy matematycznej i analizy zespolonej (włączając najpiękniejszy wzór matematyki), przyczynił się do rozwoju teorii liczb dowodząc wielu jej twierdzeń, odnosił sukcesy na polu matematyki stosowanej, fizyki, astronomii, a także logiki.

Tym co jednak stawia Eulera w szeregu wielkich twórców i odkrywców jest badane przez niego zagadnienie mostów królewieckich, które zapoczątkowało rozwój teorii grafów. Czego dotyczył ten problem i dlaczego stał się tak ważny dla rozwoju matematyki?

W XVIII wieku, w czasach, gdy Euler zajmował się problemem mostów, Kaliningrad, będący wówczas Królewcem, a nazywany również Königsbergiem należał do Królestwa Prus. Wyspy leżące na przepływającej przez miasto Pregole połączone były między sobą i z brzegami rzeki siedmioma mostami w sposób przedstawiony na poniższej grafice.

Problemem, nad którym pracował szwajcarski matematyk było ustalenie trasy wędrówki po Królewcu w taki sposób, by odwiedzić każdy z siedmiu mostów i przejść przez niego tylko raz. Na gruncie teoretycznym rozmieszczenie mostów można przedstawić w postaci grafu, takiego jak na rysunku, gdzie węzły są wyspami i brzegami Pregoły, a linie (krawędzie grafu) drogami prowadzącymi do nich, czyli mostami Królewca.

Euler wykazał, że taki spacer jest niemożliwy, a decyduje o tym nieparzysta ilość krawędzi wychodzących z każdego węzła (z każdego miejsca w Königsbergu wyprowadzają nas 3 lub 5 mostów). Rozważając ogólniejszy problem - jakie warunki musi spełnić graf (topografia miasta) aby taka wędrówka była możliwa - Euler doszedł do wniosku, że liczba węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi musi być równa 0 lub 2, w przeciwnym razie, sytuacja będzie podobna do królewieckiej.

Tak powstała, potężnie dziś rozbudowana, teoria grafów. Dodać jeszcze należy, że całe zagadnienie opublikował Euler w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, która obecnie uznawana jest za pierwszą opisującą ten nowy wówczas dział matematyki.

Czytaj dalej »

Najpiękniejszy wzór matematyki

Czy w matematyce można w ogóle mówić o pięknie i harmonii? Prawdopodobnie każdy odbiera je inaczej i obiektywnie nie można stwierdzić, że coś jest piękne w sposób uniwersalny i dla każdego jednakowy, szczególnie gdy chodzi o niezbyt przez wszystkich lubiane matematyczne wzory. Matematycy usiłują jednak doszukiwać się piękna również tam, gdzie pozornie go nie ma.

Okrzyknęli oni mianem najpiękniejszego wzoru pewną mało znaną tożsamość:

Równość ta jest szczególnym przypadkiem wzoru analizy zespolonej podanego po raz pierwszy w 1748 roku przez Leonharda Eulera. Cóż w nim tak pięknego, że od lat zachwyca matematyków i tych, którzy matematyką na co dzień się nie zajmują?

Otóż wzór ten za pomocą dodawania, potęgowania i mnożenia wiąże ze sobą pięć prawdopodobnie najważniejszych stałych matematyki:

Liczbę e nazywaną liczbą Nepera, definiowaną na wiele równoważnych sposobów, z których najbardziej znany, to granica ciągu (1+1⁄n)ⁿ. Liczba e będąca podstawą logarytmu naturalnego jest niewymierna, a jej przybliżenie to 2,7182818...

Liczbę i wykorzystywaną w analizie zespolonej, nazywaną liczbą lub jednostką urojoną. Wprowadzono ją do matematyki w związku z potrzebą rozszerzenia liczb rzeczywistych na takie, w których możliwe byłoby znalezienie pierwiastka z -1. Jest nim właśnie i.

Liczbę π, najbardziej chyba znaną liczbę niewymierną, zwaną również ludolfiną, w przybliżeniu równą 3,1415926... Liczbą π posługiwano się już w starożytności, a jest ona równa stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Liczbę 1 znaną doskonale każdemu - element neutralny mnożenia, czyli taką liczbę, która pomnożona przez siebie lub cokolwiek innego nie zmienia jego wartości. 1 jest jedną z dwóch liczb naturalnych, które nie są ani pierwsze ani złożone.

Liczbę 0, która jest drugą z naturalnych liczb niezłożonych i niepierwszych. 0 to element neutralny dodawania. Nazywane jest również czasami elementem pochłaniającym mnożenia, bo pomnożone przez cokolwiek zawsze daje siebie.

Tym, co dodatkowo tworzy harmonię w tym wzorze jest fakt, że każda liczba i każde działanie zostało użyte tylko raz, a całość przedstawiona jest w formie, uznawanego przez matematyków za bardzo eleganckie, równania, którego prawa strona jest zerem. Dość powiedzieć, że piękno zawarte w tym krótkim zapisie skłoniło jednego z najbardziej znanych fizyków XX wieku Richarda Feynmana do nazwania go najniezwyklejszym wzorem w matematyce.

Zobacz z czego jeszcze zasłynął Euler w artykule Leonhard Euler i królewieckie mosty.

Czytaj dalej »

Niezwykła historia Stefana Banacha

Ktokolwiek zapytany o najwybitniejszych polskich uczonych jednym tchem wymienia Marię Skłodowską-Curie i Mikołaja Kopernika. W gruncie rzeczy ma rację, ale do tej dwójki pod względem osiągnięć znakomicie pasuje niedoceniany Stefan Banach. Być może miał to nieszczęście, że zajmował się matematyką, która po pierwsze za bardzo lubiana nie jest, a po drugie praktycznych narzędzi raczej nie dostarcza. Warto jednak poznać historię tego matematyka i jego wkład w rozwój nauki, bo była to historia niezwykle barwna, a o zdefiniowanych przez niego przestrzeniach Banacha uczą się dziś studenci matematyki na całym świecie (nie wyłączjąc autora tego artykułu).

Banach urodził się w 1892 roku w Krakowie. Nigdy nie poznał swojej matki, ojca widywał sporadycznie, a sam wychowywał się w rodzinie zastępczej. Od wczesnej młodości przejawiał niezwykłe zdolności matematyczne, choć na studia matematyczne nigdy nie trafił. Matematykę studiował jako samouk(!), a utrzymywał się z... korepetycji.

Punktem zwrotnym w jego życiu stało się spotkanie z innym znakomitym matematykiem Hugo Steinhausem w 1916 roku. Legenda głosi, że gdy Steinhaus przechadzał się krakowskimi Plantami, natknął się na Banacha zapamiętale dyskutującego ze swoim kolegą o całce Lebesgue'a. Spotkanie zaowocowało wspólną publikacją i wieloletnią współpracą, a już w 1920 roku za wstawiennictwem Steinhausa Banach otrzymał asystenturę na uniwersytecie we Lwowie (nie mając dyplomu ukończenia studiów!).

Kawiarnia Szkocka we Lwowie na starej pocztówce

Tam właśnie pod przewodnictwem obu powstała słynna lwowska szkoła matematyczna zajmująca się głównie problemami analizy funkcjonalnej. Ulubionym miejscem spotkań przedstawicieli szkoły była Kawiarnia Szkocka, gdzie dyskutowali na tematy matematyczne, zapisując je na... blacie stolika(!) Żona Banacha, Łucja postanowiła wprowadzić trochę kobiecej ręki i zakupiła panom zeszyt, który przechowywał barman i wydawał gdy zachodziła taka potrzeba. Zeszyt nosił nazwę Księgi Szkockiej i zawierał prawie 200 matematycznych problemów, za których rozwiązanie przyznawano nietypowe nagrody - piwo, kilo bekonu, albo żywą gęś! Podobno posiada go dziś rodzina Banacha mieszkająca w Niemczech.

Jest jeszcze jedna anegdota związana ze Stefanem Banachem. Otóż znanemu ze swej niechęci do formalnych procedur matematykowi zarzucono, że będąc już znanym ze swoich osiągnięć na całym świecie, nie ma doktoratu. Zaproponowano mu zdawanie egzaminu, ten jednak odmówił. Koledzy uknuli intrygę. Na pracę doktorską wzięli jego niepublikowaną wcześniej monografię, a samemu Banachowi powiedzieli, że jest grupa osób, która chce przedyskutować z nim pewne problemy. Banach dyskusje uwielbiał (co wiemy już po spotkaniu ze Steinhausem) więc zgodził się bez wahania. Zapamiętale odpowiadał na wszystkie pytania komisji, po czym dowiedział się, że właśnie obronił pracę doktorską.

Ile w tym prawdy - nie wiadomo. Tak czy inaczej życie, dorobek i osobowość Stefana Banacha warte są zapamiętania.

Jeżeli chcesz dowiedzieć się więcej zajrzyj tutaj.

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY

Czytaj dalej »

Efekt motyla, fraktale i co Polska ma z tym wspólnego

Trzepot skrzydeł motyla w Singapurze, może po trzech dniach spowodować tajfun w USA.

Tak brzmi anegdotyczne przedstawienie deterministycznego chaosu, jednej z najnowszych teorii we współczesnej matematyce. Zgodnie tym zdaniem minimalny ruch powietrza na jednej półkuli może spowodować kataklizm na drugiej. Czy rzeczywiście tak jest?

Pionierem teorii chaosu stał się amerykański matematyk i meteorolog Edward Lorenz. Do czasu jego badań nad zjawiskami pogodowymi w 1961 roku, zgodnie z powszechnym deterministycznym rozumieniem rzeczywistości, minimalna zmiana warunków początkowych powinna prowadzić do proporcjonalnie niewielkich zmian w wyniku procesu. Lorenz prowadząc numeryczne analizy zjawisk pogodowych zauważył, że pozornie niewielkie zaokrąglenie wartości wyjściowych w przyjętym modelu prowadzi do wyników diametralnie różnych niż przewidywanych przez ten sam model, przy zaokrągleniach dokładniejszych.

Wstrząsnęło to podstawami nauki i zapoczątkowało lawinę badań nad chaotycznym zachowaniem układów.

Badania nad teorią chaosu poskutkowały powstaniem pojęcia fraktalu. Do matematyki wprowadził je francuski matematyk i informatyk Benoît Mandelbrot w latach siedemdziesiątych XX wieku. Nie wszyscy wiedzą, że ten jeden z najbardziej znanych współczesnych uczonych urodził się w Warszawie. Pochodził z rodziny litewskich Żydów mieszkających po I wojnie światowej w Polsce. Jeszcze przed II wojną światową przeniósł się do Francji, a w 1957 roku rozpoczął pracę dla IBM w USA, gdzie miał dostęp do najnowocześniejszych komputerów, co było nie bez znaczenia w jego badaniach.

Opisane przez niego fraktale to w potocznym rozumieniu zbiory samo-podobne, to znaczy takie, których części oglądane w dowolnej skali zachowują swoje podobieństwo do całości. Najbardziej znane przykłady, to właśnie zbiór Mandelbrota, a także zbiór Julii, którego nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Gastona Julii. Różnych przykładów fraktali jest ogromna ilość, dlatego matematycy unikają podania ich ścisłej definicji, a określenie, które proponują, zahacza już o zagadnienia z wyższej matematyki. Na szczęście fraktal to obiekt, z tej gamy zbiorów, że gdy zobaczymy jeden, będziemy umieli rozpoznać już wszystkie.

Zobacz zbiór Mandelbrota na filmie YouTube

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY

Czytaj dalej »