Co się dzieje z kulami, gdy jeździmy taksówką po mieście?

Każdy z nas doskonale wie, jak wygląda kula. Tak naprawdę nie musimy znać formalnej definicji, żeby kulę w każdym przypadku bezbłędnie rozpoznać. Skąd więc tak dziwnie postawione w tytule pytanie? Czy kula może się zmieniać gdy ”jeździmy taksówka po mieście”?

Aby odpowiedzieć sobie na to nietypowe pytanie, zastanówmy się najpierw, czym kula w matematyce jest. Otóż kulą o środku O i promieniu r nazwać możemy taki zbiór punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r. Zauważmy, że aby zdefiniować kulę potrzebowaliśmy pojęcia odległości. Gdy każde dwa punkty przestrzeni albo płaszczyzny (bo kulę możemy utworzyć również na płaszczyźnie) łączy „prosta droga”, wtedy nie ma żadnego problemu. To jak wygląda kula jest bliskie naszej intuicji – wystarczy rzut oka na poniższy rysunek i wszystko jest jasne.

Wyznaczmy w układzie współrzędnych kulę o środku w punkcie (1,1) i promieniu 2. Jest ona oczywiście kołem. Brzeg koła (okrąg) jest narysowany linią przerywaną, ponieważ w dziale matematyki zajmującym się m.in.  odległościami – topologią – kulę definiuje się bez brzegu (jest to tak zwana kula otwarta). To czy kula ma brzeg, czy nie, nie będzie miało zresztą znaczenia dla naszych dalszych rozważań.

Powiedzieliśmy, że w omawianym przez nas przypadku każde dwa punkty łączy „prosta droga”. Mamy wtedy do czynienia z metryką naturalną, zwaną również euklidesową - metryką, czyli, mówiąc najogólniej, sposobem mierzenia odległości.

Niewiele jest jednak w codziennym życiu takich sytuacji, że aby dostać się z pewnego miejsca do innego, wystarczy przejść „prostą drogą”. Załóżmy na przykład, że znajdujemy się w taksówce jadącej ulicami miasta i wyjeżdżając z punktu A, chcemy trafić do punktu B, tak jak na poniższym rysunku.

Aby to zrobić, musimy najpierw udać się do najbliższego skrzyżowania, a następnie pojechać prostopadle do dotychczasowego kierunku. Widzimy, że odległość między tymi dwoma punktami jest mierzona inaczej niż „prostą drogą”. W ten sposób połączymy każde dwa punkty miasta – poruszając się prostopadłymi ulicami. Taki sposób mierzenia odległości nazywany jest metryką miejską lub taksówkową.

Jak w metryce taksówkowej wygląda kula? Gdy ustalimy, że środkiem naszej kuli jest punkt (1,1) i  interesują  nas wszystkie punkty miasta, do których można dotrzeć przejeżdżając mniej niż 2 kilometry, wtedy nasza kula będzie… wnętrzem kwadratu, jak na poniższym rysunku.

Innym ciekawym sposobem mierzenia odległości jest tak zwana metryka rzeki.

Załóżmy, że chcemy dostać się z punktu A do punktu B, położonych na dwóch brzegach rzeki, tak jak to widać poniżej:

Podróżujemy najpierw najkrótszą drogą z punktu A do brzegu rzeki (rzutujemy punkt na prostą), następnie wzdłuż jej brzegów, aż znajdziemy się na wysokości punktu B, a po wyjściu na ląd, podążmy prosto do niego. Kula w takiej metryce wygląda bardzo nietypowo – przedstawia ją poniższy rysunek:

Tak jak w poprzednich przypadkach, wykres obrazuje zbiór wszystkich punktów oddalonych od punktu (1,1) o mniej niż 2 kilometry. Rzeką w tym przypadku jest oś OY.

Jak widać, odległość możemy mierzyć na wiele sposobów. Różnych metryk jest niezliczona ilość. Metryka w topologii, to po prostu funkcja spełniająca pewne warunki (nie będziemy ich tutaj wymieniać – zainteresowanych odsyłam na przykład TU). Wystarczy więc, że wymyślimy jakąś funkcję, która je spełnia i już mamy kolejny sposób mierzenia odległości.

Szczególnym przypadkiem takiej funkcji jest metryka dyskretna. Przyjmuje się w niej, że odległość pomiędzy dwoma różnymi punktami jest równa 1, a odległość punktu od samego siebie – 0. Odpowiedź na pytanie, jak w tej metryce wygląda kula, pozostawiam dla Ciebie. J

Czytaj dalej »

Naturalne, czy całkowite - których liczb jest więcej?

Których liczb jest więcej, naturalnych, czy całkowitych?

Wydawać by się mogło, że więcej jest tych drugich, bo przecież tylko niektóre liczby naturalne są liczbami całkowitymi (zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych). Ale czy nie wyciągamy zbyt pochopnych wniosków?

Zastanówmy się jak moglibyśmy porównać ilość elementów w obu tych zbiorach.

Już w pierwszej klasie szkoły podstawowej dzieci porównują liczebność zbiorów. Jak to robią? Właśnie tak jak na poniższym obrazku:

Dobierają elementy w pary i sprawdzają, których jest więcej. Wyraźnie widać, że zbiory kogutków i pingwinków mają tyle samo elementów, bo można je połączyć w pary tak, żeby każdy pingwinek był przypisany do dokładnie jednego kogutka i każdy kogutek do dokładnie jednego pingwinka. Matematycy nazywają takie odwzorowanie bijektywnym lub wzajemnie jednoznacznym, ale w naszych rozważaniach ta wiedza do niczego nie będzie nam potrzebna.

Zbiory misiów i piłek mają różną liczbę elementów, bo warunek ten nie jest spełniony. Zauważ, że aby to sprawdzić nie trzeba nawet umieć liczyć!

Zróbmy to samo z naszymi zbiorami liczbowymi. Wypiszmy na górze liczby naturalne (to czy 0 jest liczbą naturalną nie ma dla nas w tej chwili znaczenia, źródła różnie podają, my przyjmiemy, że liczby naturalne zaczynają się od 1), a na dole liczby całkowite w taki sposób, że na początku jest 0, a potem 1 i -1, 2 i -2, i tak dalej, tak jak na poniższym obrazku:

Teraz spróbujmy połączyć te liczby w pary. Okazuje się, że każdej liczbie naturalnej z górnej linijki można przypisać w jednoznaczny sposób liczbę całkowitą z dolnej. Możemy tak postępować w nieskończoność i zawsze znajdziemy taką parę. Wniosek stąd taki, że liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co całkowitych. Zbiory takie w matematyce nazywają się zbiorami równolicznymi.

Co więcej, zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych możemy wymyślać na wiele różnych sposobów. Weźmy na przykład zbiór pokazany na poniższym obrazku:

Liczbom naturalnym przyporządkowaliśmy kolejne dodatnie wielokrotności 4. Jak widać te zbiory także są równoliczne.

Nie wyciągajmy jednak zbyt pochopnych wniosków z tego rozumowania. Gdybyśmy chcieli argumentować, że liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo, bo jednych i drugich jest nieskończenie wiele - nie będziemy mieli racji. Okazuje się, że pojęcie "nieskończenie wiele" nie jest do końca sprecyzowane. W matematyce istnieją różne - "większe" i "mniejsze" nieskończoności. Można udowodnić, że tyle samo, co liczb naturalnych jest wielokrotności 4, liczb całkowitych, a nawet liczb wymiernych! Jednak liczb niewymiernych czy też wszystkich rzeczywistych (chociaż też jest ich nieskończenie wiele) jest więcej! A są też zbiory, które mają więcej elementów niż zbiór liczb rzeczywistych! Ale o tym na blogu innym razem.

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY

Czytaj dalej »