Sebastian Janczy
Każdy z nas doskonale wie, jak wygląda kula. Tak naprawdę
nie musimy znać formalnej definicji, żeby kulę w każdym przypadku bezbłędnie rozpoznać. Skąd więc tak dziwnie postawione w
tytule pytanie? Czy kula może się zmieniać gdy ”jeździmy taksówka po mieście”?
Aby odpowiedzieć sobie na to nietypowe pytanie, zastanówmy
się najpierw, czym kula w matematyce jest. Otóż kulą o środku O i promieniu r
nazwać możemy taki zbiór punktów przestrzeni, których odległość od punktu O
jest mniejsza lub równa r. Zauważmy, że aby zdefiniować kulę potrzebowaliśmy
pojęcia odległości. Gdy każde dwa punkty przestrzeni albo płaszczyzny (bo kulę
możemy utworzyć również na płaszczyźnie) łączy „prosta droga”, wtedy nie ma
żadnego problemu. To jak wygląda kula jest bliskie naszej intuicji – wystarczy
rzut oka na poniższy rysunek i wszystko jest jasne.
Wyznaczmy w układzie współrzędnych kulę o środku w punkcie
(1,1) i promieniu 2. Jest ona oczywiście kołem. Brzeg koła (okrąg) jest
narysowany linią przerywaną, ponieważ w dziale matematyki zajmującym się m.in. odległościami – topologią – kulę definiuje się
bez brzegu (jest to tak zwana kula otwarta). To czy kula ma brzeg, czy
nie, nie będzie miało zresztą znaczenia dla naszych dalszych rozważań.
Powiedzieliśmy, że w omawianym przez nas przypadku każde dwa
punkty łączy „prosta droga”. Mamy wtedy
do czynienia z metryką naturalną, zwaną również euklidesową - metryką, czyli,
mówiąc najogólniej, sposobem mierzenia odległości.
Niewiele jest jednak w codziennym życiu takich sytuacji, że
aby dostać się z pewnego miejsca do innego, wystarczy przejść „prostą drogą”.
Załóżmy na przykład, że znajdujemy się w taksówce jadącej ulicami miasta i wyjeżdżając z
punktu A, chcemy trafić do punktu B, tak jak na poniższym rysunku.
Aby to zrobić, musimy najpierw udać się do najbliższego
skrzyżowania, a następnie pojechać prostopadle do dotychczasowego kierunku.
Widzimy, że odległość między tymi dwoma punktami jest mierzona inaczej niż „prostą
drogą”. W ten sposób połączymy każde dwa punkty miasta – poruszając się
prostopadłymi ulicami. Taki sposób mierzenia odległości nazywany jest metryką miejską lub taksówkową.
Jak w metryce taksówkowej wygląda kula? Gdy ustalimy, że środkiem
naszej kuli jest punkt (1,1) i interesują
nas wszystkie punkty miasta, do których
można dotrzeć przejeżdżając mniej niż 2 kilometry, wtedy nasza kula będzie…
wnętrzem kwadratu, jak na poniższym rysunku.
Innym ciekawym sposobem mierzenia odległości jest tak zwana
metryka rzeki.
Załóżmy, że chcemy dostać się z punktu A do punktu B, położonych
na dwóch brzegach rzeki, tak jak to widać poniżej:
Podróżujemy najpierw najkrótszą drogą z punktu A do brzegu
rzeki (rzutujemy punkt na prostą), następnie wzdłuż jej brzegów, aż znajdziemy
się na wysokości punktu B, a po wyjściu na ląd, podążmy prosto do niego. Kula
w takiej metryce wygląda bardzo nietypowo – przedstawia ją poniższy rysunek:
Tak jak w poprzednich przypadkach, wykres obrazuje zbiór wszystkich punktów oddalonych od punktu (1,1) o mniej
niż 2 kilometry. Rzeką w tym przypadku jest oś OY.
Jak widać, odległość możemy mierzyć na wiele sposobów.
Różnych metryk jest niezliczona ilość. Metryka w topologii, to po prostu funkcja
spełniająca pewne warunki (nie będziemy ich tutaj wymieniać – zainteresowanych odsyłam
na przykład TU).
Wystarczy więc, że wymyślimy jakąś funkcję, która je spełnia i już mamy kolejny
sposób mierzenia odległości.
Szczególnym przypadkiem takiej funkcji jest
metryka dyskretna. Przyjmuje się w niej, że odległość pomiędzy dwoma różnymi punktami
jest równa 1, a odległość punktu od samego siebie – 0. Odpowiedź na pytanie, jak w tej
metryce wygląda kula, pozostawiam dla Ciebie. J
