Jak się ustawić, by nie wyciągnąć złamanej zapałki?

Każdy z nas doskonale zna grę polegającą na ciągnięciu zapałek, z których jedna jest złamana. Ten sposób losowania stosuje się często, gdy trzeba wybrać spośród kilku osób jedną. Ten, kto wyciągnie złamaną zapałkę, przegrywa. To metoda stara chyba jak same zapałki, a pewnie i starsza, bo równie dobrze można ciągnąć źdźbła słomy, patyki i wszystko, czym tylko daje się przeprowadzić takie losowanie.

Równie stary jak sama gra jest spór dotyczący strategii przyjmowanej przez uczestników podczas ciągnięcia zapałek. Są tacy, którzy uważają, że najkorzystniej być na początku kolejki losujących, bo wtedy jest najwięcej całych zapałek, a w związku z tym, prawdopodobieństwo przegranej najmniejsze. Inni – przeciwnie – wolą losować na końcu, dedukując, że wówczas jest największa szansa, że złamaną zapałkę wyciągnie ktoś przed nimi.

Zastanówmy się, jaka strategia w tej sytuacji jest odpowiednia. Innymi słowy – w którym miejscu kolejki losujących najlepiej się ustawić, aby zminimalizować ryzyko przegranej?

Aby odpowiedzieć na to pytanie wyobraźmy sobie przebieg losowania, w którym biorą udział Ania, Basia, Czesio i Dusia. Ania uważa, że najlepiej być na początku i jako pierwsza będzie ciągnąć zapałkę. Na końcu natomiast ustawiła się Dusia, która twierdzi, że zwiększy swoje szanse, gdy będzie losować jako ostatnia.

Mamy zatem czwórkę graczy i cztery zapałki, z których jedna jest złamana. Przebieg całego losowania możemy przedstawić na grafie nazywanym przez matematyków drzewem stochastycznym.

Pierwsze rozgałęzienie reprezentuje losowanie zapałki przez Anię. Prawdopodobieństwo wylosowania złamanej zapałki wynosi ¹/₄. Gdy Ania wyciągnie złamaną zapałkę – przegrywa, a gra kończy się.

Gdy  Ania wyciągnie całą zapałkę, do losowania podchodzi Basia. Obrazuje je drugi poziom naszego drzewa. Prawdopodobieństwo przegranej Basi oblicza się mnożąc ³/₄ (prawdopodobieństwo, że Ania nie zakończy gry) przez ¹/₃ (prawdopodobieństwo wyciągnięcia złamanej zapałki przez Basię – zwróć uwagę, że zostały 3 zapałki, więc szansa wyciągnięcia złamanej wynosi teraz ¹/₃). Po skróceniu ułamków dostajemy … ¹/₄.

Jeżeli Basia nie przegra – losuje Czesio. Szansa, że to on zakończy grę obliczana jest podobnie. Mnożymy ³/₄ (Ania nie przegrywa) przez ²/₃ (Basia nie przegrywa), a następnie przez ¹/₂ (Czesio wyciąga złamaną zapałkę).

Gdy i on będzie miał szczęście i wyciągnie całą zapałkę, pozostaje już tylko jedna – złamana – zapałka, którą musi wyciągnąć Dusia. Prawdopodobieństwo przegranej Dusi obliczamy następująco: ³/₄ razy ²/₃ razy ¹/₂ razy 1 - czyli ¹/₄ !

Jak widać, każdy ma dokładnie taką samą szansę na wyciągnięcie złamanej zapałki, bez względu na to, w którym miejscu kolejki się ustawi. Oczywiście nasz wniosek dotyczy również innej liczby osób biorących udział w losowaniu. Bardzo łatwo pokazać, że zawsze dla n graczy prawdopodobieństwo przegranej wynosi ¹/_n.

Tak więc nie ma dobrej strategii, którą moglibyśmy zastosować podczas losowania zapałek. To czy jesteśmy pierwsi, czy ostatni, nie ma w tej sytuacji żadnego znaczenia.

Czytaj dalej »