Sebastian Janczy
Czy w matematyce można w ogóle mówić o pięknie i harmonii? Prawdopodobnie każdy odbiera je inaczej i obiektywnie nie można stwierdzić, że coś jest piękne w sposób uniwersalny i dla każdego jednakowy, szczególnie gdy chodzi o niezbyt przez wszystkich lubiane matematyczne wzory. Matematycy usiłują jednak doszukiwać się piękna również tam, gdzie pozornie go nie ma.
Okrzyknęli oni mianem najpiękniejszego wzoru pewną mało znaną tożsamość:
Równość ta jest szczególnym przypadkiem wzoru analizy zespolonej podanego po raz pierwszy w 1748 roku przez Leonharda Eulera. Cóż w nim tak pięknego, że od lat zachwyca matematyków i tych, którzy matematyką na co dzień się nie zajmują?
Otóż wzór ten za pomocą dodawania, potęgowania i mnożenia wiąże ze sobą pięć prawdopodobnie najważniejszych stałych matematyki:
Liczbę e nazywaną liczbą Nepera, definiowaną na wiele równoważnych sposobów, z których najbardziej znany, to granica ciągu (1+1⁄n)n. Liczba e będąca podstawą logarytmu naturalnego jest niewymierna, a jej przybliżenie to 2,7182818...
Liczbę i wykorzystywaną w analizie zespolonej, nazywaną liczbą lub jednostką urojoną. Wprowadzono ją do matematyki w związku z potrzebą rozszerzenia liczb rzeczywistych na takie, w których możliwe byłoby znalezienie pierwiastka z -1. Jest nim właśnie i.
Liczbę π, najbardziej chyba znaną liczbę niewymierną, zwaną również ludolfiną, w przybliżeniu równą 3,1415926... Liczbą π posługiwano się już w starożytności, a jest ona równa stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy.
Liczbę 1 znaną doskonale każdemu - element neutralny mnożenia, czyli taką liczbę, która pomnożona przez siebie lub cokolwiek innego nie zmienia jego wartości. 1 jest jedną z dwóch liczb naturalnych, które nie są ani pierwsze ani złożone.
Liczbę 0, która jest drugą z naturalnych liczb niezłożonych i niepierwszych. 0 to element neutralny dodawania. Nazywane jest również czasami elementem pochłaniającym mnożenia, bo pomnożone przez cokolwiek zawsze daje siebie.
Tym, co dodatkowo tworzy harmonię w tym wzorze jest fakt, że każda liczba i każde działanie zostało użyte tylko raz, a całość przedstawiona jest w formie, uznawanego przez matematyków za bardzo eleganckie, równania, którego prawa strona jest zerem. Dość powiedzieć, że piękno zawarte w tym krótkim zapisie skłoniło jednego z najbardziej znanych fizyków XX wieku Richarda Feynmana do nazwania go najniezwyklejszym wzorem w matematyce.
Zobacz z czego jeszcze zasłynął Euler w artykule Leonhard Euler i królewieckie mosty.
