Google, atomy Wszechświata i bardzo duże liczby

W 1938 roku amerykański matematyk Edward Kasner poprosił swojego siostrzeńca Miltona Sirottę o wymyślenie nazwy dla bardzo dużej liczby. Dziewięcioletni wówczas Milton odpowiedział "googol" - miała to być nazwa dla jedynki i stu zer, czyli 10¹⁰⁰.

Jest to niewyobrażalnie wielka liczba. Jeżeli chcielibyśmy ją zapisać w tradycyjnej formie, wyglądałaby tak:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Co ta liczba może przedstawiać? Nic! Googol jest większy niż liczba wszystkich atomów Wszechświata, którą szacuje się na 10⁸⁰, widzimy więc jak arytmetyka przekracza tutaj  granice fizyki i opisywalnego świata.

Co po googolu? Wyobraźmy sobie liczbę składającą się z jedynki i googola zer, czyli 10^googol, którą nazwano googolplex. Do zapisania jej na czymkolwiek w systemie dziesiątkowym nie wystarczy zasobów Wszechświata, bo jak wiemy wszystkich atomów jest 10⁸⁰, a googolplex ma 10¹⁰⁰ samych zer! To jeszcze jedna bariera fizyczna, na którą napotykamy mówiąc o tak wielkich liczbach.

Do czego więc przydają się te monstrualne olbrzymy?

Matematycy i nauczyciele wykorzystują je głównie do pokazania różnicy pomiędzy niewyobrażalnie dużą liczbą a nieskończonością. Na bazie googola możemy tworzyć dowolnie wielkie liczby: googol, googolplex, 10^googolplex, 10^10googolplex i tak dalej i zawsze będziemy mieli "bardzo daleko" do nieskończoności. Edward Kasner na podstawie googola wyjaśniał różnicę między tymi liczbami, a nieskończonością w swojej książce Matematyka i wyobraźnia. W wersji angielskiej znajdziesz ją tutaj, a o googolu przeczytasz na stronie 20.

A co wspólnego z googolem ma Google?

W 1998 roku założyciele firmy, Larry Page i Sergey Brin zastanawiali się nad nazwą dla swojej wyszukiwarki, która miała indeksować niewyobrażalnie wielką liczbę stron. Z pomocą przyszedł ich kolega Sean Anderson, który zaproponował nazwę Googolplex. Pierwotnie miała być to skrócona nazwa Googol, jednak podczas rejestracji Anderson popełnił błąd, dlatego mamy dziś domenę Google, a nie Googol, która i tak podobno była już wtedy zarejestrowana.

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY

Czytaj dalej »

Naturalne, czy całkowite - których liczb jest więcej?

Których liczb jest więcej, naturalnych, czy całkowitych?

Wydawać by się mogło, że więcej jest tych drugich, bo przecież tylko niektóre liczby naturalne są liczbami całkowitymi (zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych). Ale czy nie wyciągamy zbyt pochopnych wniosków?

Zastanówmy się jak moglibyśmy porównać ilość elementów w obu tych zbiorach.

Już w pierwszej klasie szkoły podstawowej dzieci porównują liczebność zbiorów. Jak to robią? Właśnie tak jak na poniższym obrazku:

Dobierają elementy w pary i sprawdzają, których jest więcej. Wyraźnie widać, że zbiory kogutków i pingwinków mają tyle samo elementów, bo można je połączyć w pary tak, żeby każdy pingwinek był przypisany do dokładnie jednego kogutka i każdy kogutek do dokładnie jednego pingwinka. Matematycy nazywają takie odwzorowanie bijektywnym lub wzajemnie jednoznacznym, ale w naszych rozważaniach ta wiedza do niczego nie będzie nam potrzebna.

Zbiory misiów i piłek mają różną liczbę elementów, bo warunek ten nie jest spełniony. Zauważ, że aby to sprawdzić nie trzeba nawet umieć liczyć!

Zróbmy to samo z naszymi zbiorami liczbowymi. Wypiszmy na górze liczby naturalne (to czy 0 jest liczbą naturalną nie ma dla nas w tej chwili znaczenia, źródła różnie podają, my przyjmiemy, że liczby naturalne zaczynają się od 1), a na dole liczby całkowite w taki sposób, że na początku jest 0, a potem 1 i -1, 2 i -2, i tak dalej, tak jak na poniższym obrazku:

Teraz spróbujmy połączyć te liczby w pary. Okazuje się, że każdej liczbie naturalnej z górnej linijki można przypisać w jednoznaczny sposób liczbę całkowitą z dolnej. Możemy tak postępować w nieskończoność i zawsze znajdziemy taką parę. Wniosek stąd taki, że liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co całkowitych. Zbiory takie w matematyce nazywają się zbiorami równolicznymi.

Co więcej, zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych możemy wymyślać na wiele różnych sposobów. Weźmy na przykład zbiór pokazany na poniższym obrazku:

Liczbom naturalnym przyporządkowaliśmy kolejne dodatnie wielokrotności 4. Jak widać te zbiory także są równoliczne.

Nie wyciągajmy jednak zbyt pochopnych wniosków z tego rozumowania. Gdybyśmy chcieli argumentować, że liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo, bo jednych i drugich jest nieskończenie wiele - nie będziemy mieli racji. Okazuje się, że pojęcie "nieskończenie wiele" nie jest do końca sprecyzowane. W matematyce istnieją różne - "większe" i "mniejsze" nieskończoności. Można udowodnić, że tyle samo, co liczb naturalnych jest wielokrotności 4, liczb całkowitych, a nawet liczb wymiernych! Jednak liczb niewymiernych czy też wszystkich rzeczywistych (chociaż też jest ich nieskończenie wiele) jest więcej! A są też zbiory, które mają więcej elementów niż zbiór liczb rzeczywistych! Ale o tym na blogu innym razem.

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY

Czytaj dalej »