0,(9) i 1, czyli zaskakująca równość

Ułamki okresowe, jak wiemy to takie, w których rozwinięciu dziesiętnym jakaś cyfra lub ciąg cyfr od pewnego miejsca powtarza się w nieskończoność. Tak na przykład ułamek 2/3 może być zapisany jako 0,66666... czyli 0,(6).

Poniżej zobaczymy przedziwną własność ułamka 0,(9). Okazuje się bowiem, że zgodnie ze wszystkimi prawami matematyki jest on równy 1!

Jak to udowodnić?

Załóżmy, że ten ułamek jest równy jakiemuś x.
Mamy zatem:

x=0,(9)

Zapiszmy to w taki sposób:

x=0,99999...

Teraz sztuczka! Pomnóżmy obie strony tego równania przez 10.

Przy mnożeniu przez dziesięć przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo, dostaniemy więc:

10x=9,99999...

Teraz kolejna sztuczka! Odejmijmy od obu stron x.
Mamy:

10x-x=9,99999...-x

Z lewej strony mamy 9x ale przecież na początku ustaliliśmy, że x to 0,99999...
Nasze równanie wygląda więc tak:

9x=9,99999...-0,99999...

Czyli:

9x=9

Gdy podzielimy obustronnie przez 9 wyjdzie nam:

x=1

Rzućmy okiem na sam początek: mamy x=0,(9).

Wydaje się to niemożliwe, a jednak:

0,(9)=1

Jest to jeden z kilku dowodów tej równości. Można na przykład przedstawić liczbę 0,(9) jako sumę szeregu geometrycznego i też w rezultacie dostaniemy 1.

Jak to się dzieje, że ten absurdalny pozornie fakt jest dobrze udowodnioną prawdą matematyczną?

Cóż, jednym z powodów jest nasze postrzeganie granic i nieskończoności. Intuicyjnie jesteśmy skłonni przypuszczać, że 0,(9) jest mniejsze od 1, bo w nieskończonym ciągu dziewiątek mimo wszystko, którąś chcielibyśmy widzieć jako ostatnią. Dopiero gdy zrozumiemy czym granica w nieskończoności jest, sprawa wyda się oczywista. Ale to już trochę wyższa matematyka, którą nie mam zamiaru Cię tutaj zanudzać.

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY

Czytaj dalej »