Leonhard Euler i królewieckie mosty

Przed świętami mogliśmy przeczytać o najpiękniejszym wzorze matematyki, podanym w XVIII wieku przez Leonharda Eulera. Nie jest to wszak jedyne osiągnięcie tego wybitnego matematyka. Jego wkład w rozwój matematyki jest tak wielki, że współczesny mu Pierre Simon de Laplace miał wyrazić się na jego temat "Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich".

Leonhard Euler dzięki stworzonym przez siebie licznym podręcznikom spopularyzował wiele konwencji zapisu matematycznego, miał olbrzymi wkład do analizy matematycznej i analizy zespolonej (włączając najpiękniejszy wzór matematyki), przyczynił się do rozwoju teorii liczb dowodząc wielu jej twierdzeń, odnosił sukcesy na polu matematyki stosowanej, fizyki, astronomii, a także logiki.

Tym co jednak stawia Eulera w szeregu wielkich twórców i odkrywców jest badane przez niego zagadnienie mostów królewieckich, które zapoczątkowało rozwój teorii grafów. Czego dotyczył ten problem i dlaczego stał się tak ważny dla rozwoju matematyki?

W XVIII wieku, w czasach, gdy Euler zajmował się problemem mostów, Kaliningrad, będący wówczas Królewcem, a nazywany również Königsbergiem należał do Królestwa Prus. Wyspy leżące na przepływającej przez miasto Pregole połączone były między sobą i z brzegami rzeki siedmioma mostami w sposób przedstawiony na poniższej grafice.

Problemem, nad którym pracował szwajcarski matematyk było ustalenie trasy wędrówki po Królewcu w taki sposób, by odwiedzić każdy z siedmiu mostów i przejść przez niego tylko raz. Na gruncie teoretycznym rozmieszczenie mostów można przedstawić w postaci grafu, takiego jak na rysunku, gdzie węzły są wyspami i brzegami Pregoły, a linie (krawędzie grafu) drogami prowadzącymi do nich, czyli mostami Królewca.

Euler wykazał, że taki spacer jest niemożliwy, a decyduje o tym nieparzysta ilość krawędzi wychodzących z każdego węzła (z każdego miejsca w Königsbergu wyprowadzają nas 3 lub 5 mostów). Rozważając ogólniejszy problem - jakie warunki musi spełnić graf (topografia miasta) aby taka wędrówka była możliwa - Euler doszedł do wniosku, że liczba węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi musi być równa 0 lub 2, w przeciwnym razie, sytuacja będzie podobna do królewieckiej.

Tak powstała, potężnie dziś rozbudowana, teoria grafów. Dodać jeszcze należy, że całe zagadnienie opublikował Euler w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, która obecnie uznawana jest za pierwszą opisującą ten nowy wówczas dział matematyki.

Czytaj dalej »

Najpiękniejszy wzór matematyki

Czy w matematyce można w ogóle mówić o pięknie i harmonii? Prawdopodobnie każdy odbiera je inaczej i obiektywnie nie można stwierdzić, że coś jest piękne w sposób uniwersalny i dla każdego jednakowy, szczególnie gdy chodzi o niezbyt przez wszystkich lubiane matematyczne wzory. Matematycy usiłują jednak doszukiwać się piękna również tam, gdzie pozornie go nie ma.

Okrzyknęli oni mianem najpiękniejszego wzoru pewną mało znaną tożsamość:

Równość ta jest szczególnym przypadkiem wzoru analizy zespolonej podanego po raz pierwszy w 1748 roku przez Leonharda Eulera. Cóż w nim tak pięknego, że od lat zachwyca matematyków i tych, którzy matematyką na co dzień się nie zajmują?

Otóż wzór ten za pomocą dodawania, potęgowania i mnożenia wiąże ze sobą pięć prawdopodobnie najważniejszych stałych matematyki:

Liczbę e nazywaną liczbą Nepera, definiowaną na wiele równoważnych sposobów, z których najbardziej znany, to granica ciągu (1+1⁄n)ⁿ. Liczba e będąca podstawą logarytmu naturalnego jest niewymierna, a jej przybliżenie to 2,7182818...

Liczbę i wykorzystywaną w analizie zespolonej, nazywaną liczbą lub jednostką urojoną. Wprowadzono ją do matematyki w związku z potrzebą rozszerzenia liczb rzeczywistych na takie, w których możliwe byłoby znalezienie pierwiastka z -1. Jest nim właśnie i.

Liczbę π, najbardziej chyba znaną liczbę niewymierną, zwaną również ludolfiną, w przybliżeniu równą 3,1415926... Liczbą π posługiwano się już w starożytności, a jest ona równa stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Liczbę 1 znaną doskonale każdemu - element neutralny mnożenia, czyli taką liczbę, która pomnożona przez siebie lub cokolwiek innego nie zmienia jego wartości. 1 jest jedną z dwóch liczb naturalnych, które nie są ani pierwsze ani złożone.

Liczbę 0, która jest drugą z naturalnych liczb niezłożonych i niepierwszych. 0 to element neutralny dodawania. Nazywane jest również czasami elementem pochłaniającym mnożenia, bo pomnożone przez cokolwiek zawsze daje siebie.

Tym, co dodatkowo tworzy harmonię w tym wzorze jest fakt, że każda liczba i każde działanie zostało użyte tylko raz, a całość przedstawiona jest w formie, uznawanego przez matematyków za bardzo eleganckie, równania, którego prawa strona jest zerem. Dość powiedzieć, że piękno zawarte w tym krótkim zapisie skłoniło jednego z najbardziej znanych fizyków XX wieku Richarda Feynmana do nazwania go najniezwyklejszym wzorem w matematyce.

Zobacz z czego jeszcze zasłynął Euler w artykule Leonhard Euler i królewieckie mosty.

Czytaj dalej »