Euklides i jego matematyczny bestseller

W dzisiejszym wpisie cofniemy się o ponad 2.300 lat w przeszłość do kulturowego, handlowego i naukowego centrum ówczesnego świata - egipskiego portu, Aleksandrii. Miasto to, założone według starożytnych historyków w 332 roku przed naszą erą przez Aleksandra Macedońskiego na gruzach osady Rakotis, wydało wielu uczonych i filozofów, w tym, najbardziej chyba znanego w dziejach matematyka - Euklidesa. Paradoksalnie, wiemy o nim niewiele, choć wpływ jaki wywarł na ludzką cywilizację jest nie do przecenienia.

Euklides urodził się w Aleksandrii ok. 325 r. p.n.e., a zmarł ok. 265 r. p.n.e. Najprawdopodobniej odebrał wykształcenie w Akademii Platońskiej w Atenach, choć historycy nie mają co do tego pewności.

Co sprawiło, że imię Euklidesa przez ponad dwa tysiące lat znane było każdemu adeptowi matematyki z Europy Zachodniej, a także, choć tu już w mniejszym zakresie, ze świata arabskiego?

Otóż jest on autorem najbardziej znanego dzieła matematycznego: Elementów geometrii, zwanego po prostu skrótowo Elementami. Traktat ten, składający się z trzynastu ksiąg, uznawany głównie jako podręcznik do geometrii, zawiera pokaźną część wiedzy i matematycznych osiągnięć starożytnego świata. Elementy na przestrzeni lat doczekały się ponad tysiąca różnych wydań, co plasuje je na drugim miejscu "listy bestsellerów wszech czasów" zaraz za Biblią. Podobnie jak Biblia zresztą były jedną z pierwszych ksiąg wydanych drukiem.

Budowle starożytnego portu - Aleksandrii

Tym co wyróżniało Elementy na tle ówczesnych publikacji i stanowiło istotną nowość, było wprowadzenie dowodu matematycznego. Euklides nie uznawał prawdziwości żadnego matematycznego stwierdzenia, jeżeli nie było ono poparte ciągiem logicznych wywodów - sekwencji praw będących konsekwencją stwierdzeń uznanych wcześniej za prawdziwe.

Proces dowodzenia musi się jednak gdzieś rozpoczynać. Pewne stwierdzenia musimy zatem uznać za podstawowe i oczywiste. Takie fundamentalne, przyjmowane bez dowodu, założenia nazwał Euklides w swoim dziele postulatami, a we współczesnej matematyce znane są jako aksjomaty teorii matematycznych.

Najbardziej znany w historii układ aksjomatów, to właśnie pięć postulatów Euklidesa. Cztery pierwsze we współczesnym polskim tłumaczeniu Elementów brzmią:

1. Można poprowadzić prostą od któregokolwiek punktu do któregokolwiek punktu.

2. Ograniczoną prostą można przedłużyć nieskończenie.

3. Można zakreślić okrąg z któregokolwiek punktu jako środka dowolną odległością.

4. Wszystkie kąty proste są między sobą równe.

Piąty postulat, ze względu na swoją skomplikowaną budowę, przysporzył matematykom minionych epok wielu problemów. Uważali oni bowiem, że ze względu na swoją formę, wynika on z pozostałych czterech aksjomatów, czego bezskutecznie próbowali dowieść. Dopiero w XIX wieku udało się wykazać, że nie zależy on w żaden sposób od pozostałych. Jego treść w oryginalnej wersji brzmi:

5. Jeżeli prosta przecinająca dwie proste tworzy z nimi kąty jednostronnie wewnętrzne o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przedłużone nieskończenie przecinają się po tej stronie, po której znajdują się kąty o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych.

Nie sposób polemizować z opinią, że nie jest on ani tak prosty, ani tak oczywisty jak pozostałe. Istnieje jednak wiele stwierdzeń równoważnych piątemu postulatowi, w tym najpowszechniej znana szkolna jego wersja:

5'. Przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Cała znana nam doskonale geometria, to rezultat przyjęcia Euklidesowych postulatów, a więc wykładana w szkołach od przeszło dwóch tysięcy lat geometria Euklidesowa.

Elementy na papirusie z III wieku

Na zakończenie zastanówmy się nad pewnym myślowym eksperymentem: Skoro aksjomaty teorii matematycznych przyjmujemy jako oczywiste bez dowodu, to moglibyśmy również jako oczywiste przyjąć ich zaprzeczenia. W 1830 roku rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski zastąpił, idąc tym tropem, piąty postulat jego zaprzeczeniem:

~5. Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą

tworząc całkiem nową, sprzeczną z naszą intuicją geometrię hiperboliczną, w której na przykład suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni. Można również oprzeć się jedynie na czterech pierwszych aksjomatach. Otrzymamy wtedy tak zwaną geometrię absolutną.
Ale to już temat na całkiem inną okazję.

Polski tekst Elementów Euklidesa można znaleźć TUTAJ.

Czytaj dalej »