Euklides i jego matematyczny bestseller

W dzisiejszym wpisie cofniemy się o ponad 2.300 lat w przeszłość do kulturowego, handlowego i naukowego centrum ówczesnego świata - egipskiego portu, Aleksandrii. Miasto to, założone według starożytnych historyków w 332 roku przed naszą erą przez Aleksandra Macedońskiego na gruzach osady Rakotis, wydało wielu uczonych i filozofów, w tym, najbardziej chyba znanego w dziejach matematyka - Euklidesa. Paradoksalnie, wiemy o nim niewiele, choć wpływ jaki wywarł na ludzką cywilizację jest nie do przecenienia.

Euklides urodził się w Aleksandrii ok. 325 r. p.n.e., a zmarł ok. 265 r. p.n.e. Najprawdopodobniej odebrał wykształcenie w Akademii Platońskiej w Atenach, choć historycy nie mają co do tego pewności.

Co sprawiło, że imię Euklidesa przez ponad dwa tysiące lat znane było każdemu adeptowi matematyki z Europy Zachodniej, a także, choć tu już w mniejszym zakresie, ze świata arabskiego?

Otóż jest on autorem najbardziej znanego dzieła matematycznego: Elementów geometrii, zwanego po prostu skrótowo Elementami. Traktat ten, składający się z trzynastu ksiąg, uznawany głównie jako podręcznik do geometrii, zawiera pokaźną część wiedzy i matematycznych osiągnięć starożytnego świata. Elementy na przestrzeni lat doczekały się ponad tysiąca różnych wydań, co plasuje je na drugim miejscu "listy bestsellerów wszech czasów" zaraz za Biblią. Podobnie jak Biblia zresztą były jedną z pierwszych ksiąg wydanych drukiem.

Budowle starożytnego portu - Aleksandrii

Tym co wyróżniało Elementy na tle ówczesnych publikacji i stanowiło istotną nowość, było wprowadzenie dowodu matematycznego. Euklides nie uznawał prawdziwości żadnego matematycznego stwierdzenia, jeżeli nie było ono poparte ciągiem logicznych wywodów - sekwencji praw będących konsekwencją stwierdzeń uznanych wcześniej za prawdziwe.

Proces dowodzenia musi się jednak gdzieś rozpoczynać. Pewne stwierdzenia musimy zatem uznać za podstawowe i oczywiste. Takie fundamentalne, przyjmowane bez dowodu, założenia nazwał Euklides w swoim dziele postulatami, a we współczesnej matematyce znane są jako aksjomaty teorii matematycznych.

Najbardziej znany w historii układ aksjomatów, to właśnie pięć postulatów Euklidesa. Cztery pierwsze we współczesnym polskim tłumaczeniu Elementów brzmią:

1. Można poprowadzić prostą od któregokolwiek punktu do któregokolwiek punktu.

2. Ograniczoną prostą można przedłużyć nieskończenie.

3. Można zakreślić okrąg z któregokolwiek punktu jako środka dowolną odległością.

4. Wszystkie kąty proste są między sobą równe.

Piąty postulat, ze względu na swoją skomplikowaną budowę, przysporzył matematykom minionych epok wielu problemów. Uważali oni bowiem, że ze względu na swoją formę, wynika on z pozostałych czterech aksjomatów, czego bezskutecznie próbowali dowieść. Dopiero w XIX wieku udało się wykazać, że nie zależy on w żaden sposób od pozostałych. Jego treść w oryginalnej wersji brzmi:

5. Jeżeli prosta przecinająca dwie proste tworzy z nimi kąty jednostronnie wewnętrzne o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przedłużone nieskończenie przecinają się po tej stronie, po której znajdują się kąty o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych.

Nie sposób polemizować z opinią, że nie jest on ani tak prosty, ani tak oczywisty jak pozostałe. Istnieje jednak wiele stwierdzeń równoważnych piątemu postulatowi, w tym najpowszechniej znana szkolna jego wersja:

5'. Przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Cała znana nam doskonale geometria, to rezultat przyjęcia Euklidesowych postulatów, a więc wykładana w szkołach od przeszło dwóch tysięcy lat geometria Euklidesowa.

Elementy na papirusie z III wieku

Na zakończenie zastanówmy się nad pewnym myślowym eksperymentem: Skoro aksjomaty teorii matematycznych przyjmujemy jako oczywiste bez dowodu, to moglibyśmy również jako oczywiste przyjąć ich zaprzeczenia. W 1830 roku rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski zastąpił, idąc tym tropem, piąty postulat jego zaprzeczeniem:

~5. Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą

tworząc całkiem nową, sprzeczną z naszą intuicją geometrię hiperboliczną, w której na przykład suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni. Można również oprzeć się jedynie na czterech pierwszych aksjomatach. Otrzymamy wtedy tak zwaną geometrię absolutną.
Ale to już temat na całkiem inną okazję.

Polski tekst Elementów Euklidesa można znaleźć TUTAJ.

Czytaj dalej »

Jak obliczyć pole kleksa?

Właściwie każdy z nas bez większych problemów potrafi przypomnieć sobie wzór na pole danej figury. Wiemy, że pole prostokąta obliczymy mnożąc przez siebie długości jego boków, a więc

P = a∙b.

Pole trójkąta z kolei można obliczyć stosując wzór

P=1/2∙a∙h,

gdzie a jest długością podstawy, a h wysokością tego trójkąta. Obliczanie pól figur geometrycznych to jedna z bardziej lubianych przez uczniów dziedzin matematyki.

Co jednak zrobić, gdy figura, której pole mamy wyznaczyć jest całkowicie przypadkowa i nieregularna? Taki na przykład widoczny na naszej grafice kleks? W tej sytuacji, żadnego wzoru oczywiście nie ma i być nie może.

Z pomocą przychodzi jednak metoda podana przez żyjącego na przełomie XIX i XX wieku francuskiego matematyka Marie Ennemonda Camille’a Jordana. Otóż na figurę, której powierzchnię mamy zmierzyć należy nałożyć siatkę kwadratów o boku 1 jednostki, tak jak na poniższym rysunku:

Następnie obrysowujemy figurę kwadratami, w sumie których ona się zawiera. Na rysunku oznaczono je czarną obramówką. Gdy policzymy wszystkie te kwadraty okaże się, że jest ich 16, więc pole naszej figury na pewno jest mniejsze od 16 jednostek. Teraz policzmy zaznaczone żółtą obwódką kwadraty, które zawierają się w naszej figurze. Są 2 takie kwadraty, a zatem pole kleksa jest większe od 2.

Możemy to zapisać tak:

2 < P < 16

Kolejnym krokiem jest podzielenie kwadratów jednostkowych na mniejsze kwadraty. Poniższa grafika pokazuje jak będzie wyglądała nasza siatka po podzieleniu każdego kwadratu na cztery mniejsze kwadraciki.

Policzmy kwadraty zaznaczone na czarno, czyli te, w których zawiera się kleks. Jest ich 55. Pamiętamy, że każdy z nich jest ćwiartką kwadratu jednostkowego, więc pole naszej figury na pewno jest mniejsze od ułamka 55/4, czyli 13,75. Sprawdźmy teraz ile jest kwadratów zawierających się w kleksie (zaznaczonych na żółto). Ich ilość to 19. Dzieląc tę liczbę tak jak poprzednio przez 4 (bo w tym kroku każdy kwadrat jednostkowy podzieliliśmy na cztery mniejsze) otrzymamy w przybliżeniu 4,75.

Możemy więc zapisać, że:

4,75 < P < 13,75

Jeszcze raz podzielmy każdy z tych kwadratów na cztery ćwiartki. Nasza siatka będzie wyglądała teraz tak:

Kwadratów w których kleks się zawiera jest 163, a kwadratów zawartych w kleksie – 83. Każdy z nich to 1/16 kwadratu wyjściowego, czyli 83/16 < P < 163/16.

Mamy więc (w przybliżeniu):

5,19 < P < 10,19

Zauważmy, że przedział, w którym znajduje się pole nieco się zawęził.

Kolejna iteracja da nam siatkę jak na poniższym rysunku:

Obliczenie czarnych i żółtych kwadratów (każdy z nich to 1/64 kwadratu jednostkowego) doprowadzi nas do konkluzji, że 420/64 < P < 590/64, a więc:

6,56 < P < 9,22

I znów przedział, w którym może być pole stał się trochę węższy. To jak zmieniają się jego krańce przedstawia poniższy wykres:

Możemy tak postępować w nieskończoność – zresztą w tym sposobie właśnie o to chodzi. Gdy uważnie przyjrzymy się wykresowi, zauważymy, że czarna linia od góry zbliża się do pewnej liczby i żółta linia również zbliża się do tej liczby, tyle że od dołu. Ta liczba to właśnie pole naszego kleksa.

Czytaj dalej »