Naturalne, czy całkowite - których liczb jest więcej?

Których liczb jest więcej, naturalnych, czy całkowitych?

Wydawać by się mogło, że więcej jest tych drugich, bo przecież tylko niektóre liczby naturalne są liczbami całkowitymi (zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych). Ale czy nie wyciągamy zbyt pochopnych wniosków?

Zastanówmy się jak moglibyśmy porównać ilość elementów w obu tych zbiorach.

Już w pierwszej klasie szkoły podstawowej dzieci porównują liczebność zbiorów. Jak to robią? Właśnie tak jak na poniższym obrazku:

Dobierają elementy w pary i sprawdzają, których jest więcej. Wyraźnie widać, że zbiory kogutków i pingwinków mają tyle samo elementów, bo można je połączyć w pary tak, żeby każdy pingwinek był przypisany do dokładnie jednego kogutka i każdy kogutek do dokładnie jednego pingwinka. Matematycy nazywają takie odwzorowanie bijektywnym lub wzajemnie jednoznacznym, ale w naszych rozważaniach ta wiedza do niczego nie będzie nam potrzebna.

Zbiory misiów i piłek mają różną liczbę elementów, bo warunek ten nie jest spełniony. Zauważ, że aby to sprawdzić nie trzeba nawet umieć liczyć!

Zróbmy to samo z naszymi zbiorami liczbowymi. Wypiszmy na górze liczby naturalne (to czy 0 jest liczbą naturalną nie ma dla nas w tej chwili znaczenia, źródła różnie podają, my przyjmiemy, że liczby naturalne zaczynają się od 1), a na dole liczby całkowite w taki sposób, że na początku jest 0, a potem 1 i -1, 2 i -2, i tak dalej, tak jak na poniższym obrazku:

Teraz spróbujmy połączyć te liczby w pary. Okazuje się, że każdej liczbie naturalnej z górnej linijki można przypisać w jednoznaczny sposób liczbę całkowitą z dolnej. Możemy tak postępować w nieskończoność i zawsze znajdziemy taką parę. Wniosek stąd taki, że liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co całkowitych. Zbiory takie w matematyce nazywają się zbiorami równolicznymi.

Co więcej, zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych możemy wymyślać na wiele różnych sposobów. Weźmy na przykład zbiór pokazany na poniższym obrazku:

Liczbom naturalnym przyporządkowaliśmy kolejne dodatnie wielokrotności 4. Jak widać te zbiory także są równoliczne.

Nie wyciągajmy jednak zbyt pochopnych wniosków z tego rozumowania. Gdybyśmy chcieli argumentować, że liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo, bo jednych i drugich jest nieskończenie wiele - nie będziemy mieli racji. Okazuje się, że pojęcie "nieskończenie wiele" nie jest do końca sprecyzowane. W matematyce istnieją różne - "większe" i "mniejsze" nieskończoności. Można udowodnić, że tyle samo, co liczb naturalnych jest wielokrotności 4, liczb całkowitych, a nawet liczb wymiernych! Jednak liczb niewymiernych czy też wszystkich rzeczywistych (chociaż też jest ich nieskończenie wiele) jest więcej! A są też zbiory, które mają więcej elementów niż zbiór liczb rzeczywistych! Ale o tym na blogu innym razem.

MATEMATYKA KOREPETYCJE GDAŃSK PRUSZCZ GDAŃSKI CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE BLOG MATEMATYCZNY