Sebastian Janczy
Właściwie każdy z nas bez większych problemów potrafi
przypomnieć sobie wzór na pole danej figury. Wiemy, że pole prostokąta
obliczymy mnożąc przez siebie długości jego boków, a więc
P = a∙b.
Pole trójkąta z kolei można obliczyć stosując wzór
P=1/2 ∙a∙h,
gdzie a jest długością podstawy, a h wysokością tego trójkąta. Obliczanie pól figur geometrycznych to jedna z bardziej lubianych przez uczniów dziedzin matematyki.
Co jednak zrobić, gdy figura, której pole mamy wyznaczyć jest
całkowicie przypadkowa i nieregularna? Taki na przykład widoczny na naszej
grafice kleks? W tej sytuacji, żadnego wzoru oczywiście nie ma i być nie może.
Z pomocą przychodzi jednak metoda podana przez żyjącego na
przełomie XIX i XX wieku francuskiego matematyka Marie Ennemonda Camille’a
Jordana. Otóż na figurę, której powierzchnię mamy zmierzyć należy nałożyć
siatkę kwadratów o boku 1 jednostki, tak jak na poniższym rysunku:
Następnie obrysowujemy figurę kwadratami, w sumie których
ona się zawiera. Na rysunku oznaczono je czarną obramówką. Gdy policzymy
wszystkie te kwadraty okaże się, że jest ich 16, więc pole naszej figury na
pewno jest mniejsze od 16 jednostek. Teraz policzmy zaznaczone żółtą obwódką kwadraty, które
zawierają się w naszej figurze. Są 2 takie kwadraty, a zatem pole kleksa jest
większe od 2.
Możemy to zapisać tak:
2 < P < 16
Kolejnym krokiem jest podzielenie kwadratów jednostkowych na
mniejsze kwadraty. Poniższa grafika pokazuje jak będzie wyglądała nasza siatka
po podzieleniu każdego kwadratu na cztery mniejsze kwadraciki.
Policzmy kwadraty zaznaczone na czarno, czyli te, w których
zawiera się kleks. Jest ich 55. Pamiętamy, że każdy z nich jest ćwiartką
kwadratu jednostkowego, więc pole naszej figury na pewno jest mniejsze od
ułamka 55/4 , czyli 13,75. Sprawdźmy teraz ile jest kwadratów zawierających się
w kleksie (zaznaczonych na żółto). Ich ilość to 19. Dzieląc tę liczbę tak jak
poprzednio przez 4 (bo w tym kroku każdy kwadrat jednostkowy podzieliliśmy na
cztery mniejsze) otrzymamy w przybliżeniu 4,75.
Możemy więc zapisać, że:
4,75 < P < 13,75
Jeszcze raz podzielmy każdy z tych kwadratów na cztery ćwiartki. Nasza siatka będzie wyglądała teraz tak:
Kwadratów w których kleks się zawiera jest 163, a kwadratów
zawartych w kleksie – 83. Każdy z nich to 1/16 kwadratu wyjściowego, czyli
83/16 < P < 163/16 .
Mamy więc (w przybliżeniu):
5,19 < P < 10,19
Zauważmy, że przedział, w którym znajduje się pole nieco się zawęził.
Kolejna iteracja da nam siatkę
jak na poniższym rysunku:
Obliczenie czarnych i żółtych kwadratów (każdy z nich to 1/64
kwadratu jednostkowego) doprowadzi nas do konkluzji, że
420/64 < P < 590/64 , a więc:
6,56 < P < 9,22
I znów przedział, w którym może być pole stał się trochę
węższy. To jak zmieniają się jego krańce przedstawia poniższy wykres:
Możemy tak postępować w nieskończoność – zresztą w tym
sposobie właśnie o to chodzi. Gdy uważnie przyjrzymy się wykresowi, zauważymy, że czarna linia od góry zbliża
się do pewnej liczby i żółta linia również zbliża się do tej liczby, tyle że
od dołu. Ta liczba to właśnie pole naszego kleksa.
