Pradziadek wizjoner i magia procentów

W tym wpisie zastanowimy się nad czymś, co zaskakująco mocno wiąże matematykę z realnym światem. Przyglądniemy się bliżej lokatom bankowym i magii procentu składanego, który stał się punktem wyjścia poniższej opowieści:

Sto lat temu twój pradziadek – emigrant osiedlił się w Ameryce. Fortuny może nie zdobył, ale z myślą o tobie wpłacił do banku jednego, ciężko zarobionego dolara. Oprocentowanie lokaty przez cały ten czas było stałe i wynosiło 10% w stosunku rocznym. Właśnie otrzymałeś informację, że należy ci się spadek w postaci gotówki zgromadzonej na koncie pradziadka. Jest tylko jeden warunek: musisz ją osobiście odebrać w USA. Czy warto lecieć do Ameryki?

Któż z nas nie czeka na taką wiadomość?! Podobne historie, choć spektakularne, zdarzają się niestety rzadko. Zostają nam jednak lokaty w naszych współczesnych bankach, które działają na identycznych zasadach. Przyglądnijmy się zatem lokacie pradziadka i spróbujmy odpowiedzieć na pytanie, czy warto wydawać pieniądze na bilet i fatygować się do USA po odbiór należnego spadku.

Załóżmy, że jest 1 stycznia 1917 roku i przed chwilą pradziadek wpłacił 1 dolara. Po roku trwania lokaty bank naliczył odsetki w wysokości 10 centów. W styczniu 1918 roku mamy więc 1 dolara i 10 centów. Mija kolejny rok. Bank dolicza kolejne 10%, tym razem z kwoty $1,10, czyli około 11 centów. Na koniec 1918 roku mamy $1,21. Po kolejnym roku doliczamy 12 centów i po 3 latach trwania lokaty gromadzimy zawrotną sumę $1,33. Prawda, że mało imponujące?

Kwoty zgromadzone na koncie w ciągu pierwszych 20 lat lokaty przedstawia poniższa tabela:

Na koniec 1936 roku posiadamy nieco ponad 6 dolarów… Nie jest to zawrotna suma jak na 20 lat oszczędzania… Gdybyśmy powtarzali te obliczenia przez 30 kolejnych lat, to w połowie czasu trwania lokaty, czyli po 50 latach mielibyśmy na koncie dokładnie 106 dolarów i 72 centy. Przez 50 lat zarobiliśmy 106 dolarów! Jaki jest więc sens oszczędzania i tej dziwacznej lokaty? Czym kierował się pradziadek wpłacając 1 dolara w 1917 roku? Czy nie był to zmarnowany dolar?

Sprawdźmy co się dzieje dalej, bo najciekawsze dopiero przed nami. Co roku doliczamy 10% do kwoty zgromadzonej na koncie. I w tym jest cała magia naszej lokaty. Nie powiększamy 1 dolara - powiększamy kwotę zgromadzoną na koncie. A co roku te 10% waży więcej i więcej… Po 85 latach 10% procent odsetek to już prawie 300 dolarów, po 90 latach – prawie $500! Wygląda na to, że zaczęła się toczyć kula śniegowa! Od 2014 roku naliczamy rocznie ponad tysiąc dolarów, by po 100 latach prowadzenia lokaty zgromadzić ich na koncie prawie 14 000!

Jak to możliwe? Prześledźmy na poniższym wykresie jak zmienia się kwota na koncie z upływem lat:

Wyraźnie widać, że czerwona linia od pewnego momentu zaczyna pikować. Gdybyśmy przedłużyli lokatę, moglibyśmy zarabiać na niej coraz szybciej i coraz więcej. Cała sztuczka polega na tym, że odsetki obliczamy na podstawie kwoty zgromadzonej na koncie, która stale się zwiększa.

Jak obliczyć tę kwotę? Nie będziemy zajmować się tutaj wyprowadzaniem wzoru (co nie jest też jakoś dramatycznie trudne). Podamy jedynie sposób:

Czyli u nas:

Ile gotówki zgromadzilibyśmy, gdyby 1 dolara wpłacił pradziadek naszego pradziadka w 1817 roku? To zadanie dla ciebie.

Nam pozostaje jedynie żałować, że nie mamy pradziadka – matematycznego wizjonera. A może my sami powinniśmy zostać takimi pradziadkami?

Czytaj dalej »

Najpiękniejszy wzór matematyki

Czy w matematyce można w ogóle mówić o pięknie i harmonii? Prawdopodobnie każdy odbiera je inaczej i obiektywnie nie można stwierdzić, że coś jest piękne w sposób uniwersalny i dla każdego jednakowy, szczególnie gdy chodzi o niezbyt przez wszystkich lubiane matematyczne wzory. Matematycy usiłują jednak doszukiwać się piękna również tam, gdzie pozornie go nie ma.

Okrzyknęli oni mianem najpiękniejszego wzoru pewną mało znaną tożsamość:

Równość ta jest szczególnym przypadkiem wzoru analizy zespolonej podanego po raz pierwszy w 1748 roku przez Leonharda Eulera. Cóż w nim tak pięknego, że od lat zachwyca matematyków i tych, którzy matematyką na co dzień się nie zajmują?

Otóż wzór ten za pomocą dodawania, potęgowania i mnożenia wiąże ze sobą pięć prawdopodobnie najważniejszych stałych matematyki:

Liczbę e nazywaną liczbą Nepera, definiowaną na wiele równoważnych sposobów, z których najbardziej znany, to granica ciągu (1+1⁄n)ⁿ. Liczba e będąca podstawą logarytmu naturalnego jest niewymierna, a jej przybliżenie to 2,7182818...

Liczbę i wykorzystywaną w analizie zespolonej, nazywaną liczbą lub jednostką urojoną. Wprowadzono ją do matematyki w związku z potrzebą rozszerzenia liczb rzeczywistych na takie, w których możliwe byłoby znalezienie pierwiastka z -1. Jest nim właśnie i.

Liczbę π, najbardziej chyba znaną liczbę niewymierną, zwaną również ludolfiną, w przybliżeniu równą 3,1415926... Liczbą π posługiwano się już w starożytności, a jest ona równa stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Liczbę 1 znaną doskonale każdemu - element neutralny mnożenia, czyli taką liczbę, która pomnożona przez siebie lub cokolwiek innego nie zmienia jego wartości. 1 jest jedną z dwóch liczb naturalnych, które nie są ani pierwsze ani złożone.

Liczbę 0, która jest drugą z naturalnych liczb niezłożonych i niepierwszych. 0 to element neutralny dodawania. Nazywane jest również czasami elementem pochłaniającym mnożenia, bo pomnożone przez cokolwiek zawsze daje siebie.

Tym, co dodatkowo tworzy harmonię w tym wzorze jest fakt, że każda liczba i każde działanie zostało użyte tylko raz, a całość przedstawiona jest w formie, uznawanego przez matematyków za bardzo eleganckie, równania, którego prawa strona jest zerem. Dość powiedzieć, że piękno zawarte w tym krótkim zapisie skłoniło jednego z najbardziej znanych fizyków XX wieku Richarda Feynmana do nazwania go najniezwyklejszym wzorem w matematyce.

Zobacz z czego jeszcze zasłynął Euler w artykule Leonhard Euler i królewieckie mosty.

Czytaj dalej »