Pradziadek wizjoner i magia procentów

W tym wpisie zastanowimy się nad czymś, co zaskakująco mocno wiąże matematykę z realnym światem. Przyglądniemy się bliżej lokatom bankowym i magii procentu składanego, który stał się punktem wyjścia poniższej opowieści:

Sto lat temu twój pradziadek – emigrant osiedlił się w Ameryce. Fortuny może nie zdobył, ale z myślą o tobie wpłacił do banku jednego, ciężko zarobionego dolara. Oprocentowanie lokaty przez cały ten czas było stałe i wynosiło 10% w stosunku rocznym. Właśnie otrzymałeś informację, że należy ci się spadek w postaci gotówki zgromadzonej na koncie pradziadka. Jest tylko jeden warunek: musisz ją osobiście odebrać w USA. Czy warto lecieć do Ameryki?

Któż z nas nie czeka na taką wiadomość?! Podobne historie, choć spektakularne, zdarzają się niestety rzadko. Zostają nam jednak lokaty w naszych współczesnych bankach, które działają na identycznych zasadach. Przyglądnijmy się zatem lokacie pradziadka i spróbujmy odpowiedzieć na pytanie, czy warto wydawać pieniądze na bilet i fatygować się do USA po odbiór należnego spadku.

Załóżmy, że jest 1 stycznia 1917 roku i przed chwilą pradziadek wpłacił 1 dolara. Po roku trwania lokaty bank naliczył odsetki w wysokości 10 centów. W styczniu 1918 roku mamy więc 1 dolara i 10 centów. Mija kolejny rok. Bank dolicza kolejne 10%, tym razem z kwoty $1,10, czyli około 11 centów. Na koniec 1918 roku mamy $1,21. Po kolejnym roku doliczamy 12 centów i po 3 latach trwania lokaty gromadzimy zawrotną sumę $1,33. Prawda, że mało imponujące?

Kwoty zgromadzone na koncie w ciągu pierwszych 20 lat lokaty przedstawia poniższa tabela:

Na koniec 1936 roku posiadamy nieco ponad 6 dolarów… Nie jest to zawrotna suma jak na 20 lat oszczędzania… Gdybyśmy powtarzali te obliczenia przez 30 kolejnych lat, to w połowie czasu trwania lokaty, czyli po 50 latach mielibyśmy na koncie dokładnie 106 dolarów i 72 centy. Przez 50 lat zarobiliśmy 106 dolarów! Jaki jest więc sens oszczędzania i tej dziwacznej lokaty? Czym kierował się pradziadek wpłacając 1 dolara w 1917 roku? Czy nie był to zmarnowany dolar?

Sprawdźmy co się dzieje dalej, bo najciekawsze dopiero przed nami. Co roku doliczamy 10% do kwoty zgromadzonej na koncie. I w tym jest cała magia naszej lokaty. Nie powiększamy 1 dolara - powiększamy kwotę zgromadzoną na koncie. A co roku te 10% waży więcej i więcej… Po 85 latach 10% procent odsetek to już prawie 300 dolarów, po 90 latach – prawie $500! Wygląda na to, że zaczęła się toczyć kula śniegowa! Od 2014 roku naliczamy rocznie ponad tysiąc dolarów, by po 100 latach prowadzenia lokaty zgromadzić ich na koncie prawie 14 000!

Jak to możliwe? Prześledźmy na poniższym wykresie jak zmienia się kwota na koncie z upływem lat:

Wyraźnie widać, że czerwona linia od pewnego momentu zaczyna pikować. Gdybyśmy przedłużyli lokatę, moglibyśmy zarabiać na niej coraz szybciej i coraz więcej. Cała sztuczka polega na tym, że odsetki obliczamy na podstawie kwoty zgromadzonej na koncie, która stale się zwiększa.

Jak obliczyć tę kwotę? Nie będziemy zajmować się tutaj wyprowadzaniem wzoru (co nie jest też jakoś dramatycznie trudne). Podamy jedynie sposób:

Czyli u nas:

Ile gotówki zgromadzilibyśmy, gdyby 1 dolara wpłacił pradziadek naszego pradziadka w 1817 roku? To zadanie dla ciebie.

Nam pozostaje jedynie żałować, że nie mamy pradziadka – matematycznego wizjonera. A może my sami powinniśmy zostać takimi pradziadkami?

Czytaj dalej »

Jak się ustawić, by nie wyciągnąć złamanej zapałki?

Każdy z nas doskonale zna grę polegającą na ciągnięciu zapałek, z których jedna jest złamana. Ten sposób losowania stosuje się często, gdy trzeba wybrać spośród kilku osób jedną. Ten, kto wyciągnie złamaną zapałkę, przegrywa. To metoda stara chyba jak same zapałki, a pewnie i starsza, bo równie dobrze można ciągnąć źdźbła słomy, patyki i wszystko, czym tylko daje się przeprowadzić takie losowanie.

Równie stary jak sama gra jest spór dotyczący strategii przyjmowanej przez uczestników podczas ciągnięcia zapałek. Są tacy, którzy uważają, że najkorzystniej być na początku kolejki losujących, bo wtedy jest najwięcej całych zapałek, a w związku z tym, prawdopodobieństwo przegranej najmniejsze. Inni – przeciwnie – wolą losować na końcu, dedukując, że wówczas jest największa szansa, że złamaną zapałkę wyciągnie ktoś przed nimi.

Zastanówmy się, jaka strategia w tej sytuacji jest odpowiednia. Innymi słowy – w którym miejscu kolejki losujących najlepiej się ustawić, aby zminimalizować ryzyko przegranej?

Aby odpowiedzieć na to pytanie wyobraźmy sobie przebieg losowania, w którym biorą udział Ania, Basia, Czesio i Dusia. Ania uważa, że najlepiej być na początku i jako pierwsza będzie ciągnąć zapałkę. Na końcu natomiast ustawiła się Dusia, która twierdzi, że zwiększy swoje szanse, gdy będzie losować jako ostatnia.

Mamy zatem czwórkę graczy i cztery zapałki, z których jedna jest złamana. Przebieg całego losowania możemy przedstawić na grafie nazywanym przez matematyków drzewem stochastycznym.

Pierwsze rozgałęzienie reprezentuje losowanie zapałki przez Anię. Prawdopodobieństwo wylosowania złamanej zapałki wynosi ¹/₄. Gdy Ania wyciągnie złamaną zapałkę – przegrywa, a gra kończy się.

Gdy  Ania wyciągnie całą zapałkę, do losowania podchodzi Basia. Obrazuje je drugi poziom naszego drzewa. Prawdopodobieństwo przegranej Basi oblicza się mnożąc ³/₄ (prawdopodobieństwo, że Ania nie zakończy gry) przez ¹/₃ (prawdopodobieństwo wyciągnięcia złamanej zapałki przez Basię – zwróć uwagę, że zostały 3 zapałki, więc szansa wyciągnięcia złamanej wynosi teraz ¹/₃). Po skróceniu ułamków dostajemy … ¹/₄.

Jeżeli Basia nie przegra – losuje Czesio. Szansa, że to on zakończy grę obliczana jest podobnie. Mnożymy ³/₄ (Ania nie przegrywa) przez ²/₃ (Basia nie przegrywa), a następnie przez ¹/₂ (Czesio wyciąga złamaną zapałkę).

Gdy i on będzie miał szczęście i wyciągnie całą zapałkę, pozostaje już tylko jedna – złamana – zapałka, którą musi wyciągnąć Dusia. Prawdopodobieństwo przegranej Dusi obliczamy następująco: ³/₄ razy ²/₃ razy ¹/₂ razy 1 - czyli ¹/₄ !

Jak widać, każdy ma dokładnie taką samą szansę na wyciągnięcie złamanej zapałki, bez względu na to, w którym miejscu kolejki się ustawi. Oczywiście nasz wniosek dotyczy również innej liczby osób biorących udział w losowaniu. Bardzo łatwo pokazać, że zawsze dla n graczy prawdopodobieństwo przegranej wynosi ¹/_n.

Tak więc nie ma dobrej strategii, którą moglibyśmy zastosować podczas losowania zapałek. To czy jesteśmy pierwsi, czy ostatni, nie ma w tej sytuacji żadnego znaczenia.

Czytaj dalej »

Skonstruuj sobie pisankę!

Święta Wielkanocne zbliżają się wielkimi krokami. Już niedługo dzieci zasiądą do malowania pisanek, które w Wielką Sobotę wypełnią nasze koszyki. Dlatego dziś na blogu prezentujemy przepis: Jak za pomocą cyrkla i linijki (czyli w sposób klasyczny) skonstruować jajko.

Krok 1.
Konstruujemy dwie proste prostopadłe a i b. Proste te przecinają się w punkcie O.

Krok 2.
Konstruujemy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu. Otrzymujemy punkty A i B przecięcia okręgu z prostą b.

Krok 3.
Kreślimy prostą c przechodzącą przez punkty B i C oraz prostą d przechodzącą przez punkty A i C.

Krok 4.
Konstruujemy okrąg o środku w punkcie A i przechodzący przez punkt B. Okrąg ten przecina prostą d w punkcie E. Postępując analogicznie kreślimy okrąg o środku w punkcie B i przechodzący przez punkt A. Okrąg ten przecina prostą c w punkcie D.

Krok 5.
Konstruujemy okrąg o środku w punkcie C i przechodzący przez punkt D (oraz E).

Krok 6.
Zaznaczamy wybrane fragmenty okręgów, tak jak na poniższym rysunku.

Krok 7.

Teraz wystarczy wymazać niepotrzebne linie oraz łuki i jajko jest gotowe!

Krok 8.
Oczywiście konstrukcja wzorku na pisance to dla każdego sprawa indywidualna :)

Czytaj dalej »

Euklides i jego matematyczny bestseller

W dzisiejszym wpisie cofniemy się o ponad 2.300 lat w przeszłość do kulturowego, handlowego i naukowego centrum ówczesnego świata - egipskiego portu, Aleksandrii. Miasto to, założone według starożytnych historyków w 332 roku przed naszą erą przez Aleksandra Macedońskiego na gruzach osady Rakotis, wydało wielu uczonych i filozofów, w tym, najbardziej chyba znanego w dziejach matematyka - Euklidesa. Paradoksalnie, wiemy o nim niewiele, choć wpływ jaki wywarł na ludzką cywilizację jest nie do przecenienia.

Euklides urodził się w Aleksandrii ok. 325 r. p.n.e., a zmarł ok. 265 r. p.n.e. Najprawdopodobniej odebrał wykształcenie w Akademii Platońskiej w Atenach, choć historycy nie mają co do tego pewności.

Co sprawiło, że imię Euklidesa przez ponad dwa tysiące lat znane było każdemu adeptowi matematyki z Europy Zachodniej, a także, choć tu już w mniejszym zakresie, ze świata arabskiego?

Otóż jest on autorem najbardziej znanego dzieła matematycznego: Elementów geometrii, zwanego po prostu skrótowo Elementami. Traktat ten, składający się z trzynastu ksiąg, uznawany głównie jako podręcznik do geometrii, zawiera pokaźną część wiedzy i matematycznych osiągnięć starożytnego świata. Elementy na przestrzeni lat doczekały się ponad tysiąca różnych wydań, co plasuje je na drugim miejscu "listy bestsellerów wszech czasów" zaraz za Biblią. Podobnie jak Biblia zresztą były jedną z pierwszych ksiąg wydanych drukiem.

Budowle starożytnego portu - Aleksandrii

Tym co wyróżniało Elementy na tle ówczesnych publikacji i stanowiło istotną nowość, było wprowadzenie dowodu matematycznego. Euklides nie uznawał prawdziwości żadnego matematycznego stwierdzenia, jeżeli nie było ono poparte ciągiem logicznych wywodów - sekwencji praw będących konsekwencją stwierdzeń uznanych wcześniej za prawdziwe.

Proces dowodzenia musi się jednak gdzieś rozpoczynać. Pewne stwierdzenia musimy zatem uznać za podstawowe i oczywiste. Takie fundamentalne, przyjmowane bez dowodu, założenia nazwał Euklides w swoim dziele postulatami, a we współczesnej matematyce znane są jako aksjomaty teorii matematycznych.

Najbardziej znany w historii układ aksjomatów, to właśnie pięć postulatów Euklidesa. Cztery pierwsze we współczesnym polskim tłumaczeniu Elementów brzmią:

1. Można poprowadzić prostą od któregokolwiek punktu do któregokolwiek punktu.

2. Ograniczoną prostą można przedłużyć nieskończenie.

3. Można zakreślić okrąg z któregokolwiek punktu jako środka dowolną odległością.

4. Wszystkie kąty proste są między sobą równe.

Piąty postulat, ze względu na swoją skomplikowaną budowę, przysporzył matematykom minionych epok wielu problemów. Uważali oni bowiem, że ze względu na swoją formę, wynika on z pozostałych czterech aksjomatów, czego bezskutecznie próbowali dowieść. Dopiero w XIX wieku udało się wykazać, że nie zależy on w żaden sposób od pozostałych. Jego treść w oryginalnej wersji brzmi:

5. Jeżeli prosta przecinająca dwie proste tworzy z nimi kąty jednostronnie wewnętrzne o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przedłużone nieskończenie przecinają się po tej stronie, po której znajdują się kąty o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych.

Nie sposób polemizować z opinią, że nie jest on ani tak prosty, ani tak oczywisty jak pozostałe. Istnieje jednak wiele stwierdzeń równoważnych piątemu postulatowi, w tym najpowszechniej znana szkolna jego wersja:

5'. Przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Cała znana nam doskonale geometria, to rezultat przyjęcia Euklidesowych postulatów, a więc wykładana w szkołach od przeszło dwóch tysięcy lat geometria Euklidesowa.

Elementy na papirusie z III wieku

Na zakończenie zastanówmy się nad pewnym myślowym eksperymentem: Skoro aksjomaty teorii matematycznych przyjmujemy jako oczywiste bez dowodu, to moglibyśmy również jako oczywiste przyjąć ich zaprzeczenia. W 1830 roku rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski zastąpił, idąc tym tropem, piąty postulat jego zaprzeczeniem:

~5. Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą

tworząc całkiem nową, sprzeczną z naszą intuicją geometrię hiperboliczną, w której na przykład suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni. Można również oprzeć się jedynie na czterech pierwszych aksjomatach. Otrzymamy wtedy tak zwaną geometrię absolutną.
Ale to już temat na całkiem inną okazję.

Polski tekst Elementów Euklidesa można znaleźć TUTAJ.

Czytaj dalej »