Schedel po raz trzeci i zadanie wierszem

Mieliśmy już na tym blogu okazję spotkać się z bardzo starymi zadaniami z matematyki, które ukazały się w 1662 roku w publikacji krakowskiego drukarza Krzysztofa Schedla Arithmetyka To ieſt: Nauka Rachunku na Trzy poδȝielona Xięgi. W artykule Bardzo, bardzo stare zadanie mogliśmy wráz z Káwálerem poráchować pánny w wesołym Ogrodźie, a w poście O tem ják Wilk, Pies y Lis trzech Báránów pożárli, zmierzyć się z zagadnieniem iák prędko to uczynili. Tym razem podnosimy poprzeczkę, bo problem z Arithmetyki zadany jest wierszem. Będzie osioł, muł i wino - kto się nie boi, niech rozwiązuje!

Raȝ δwoie ȝwierȝá śilnego/ Było w roδȝie poδobnego/

Wȝroſtem ſię tylko roȝnili/ Mocą ſobie wyſtárcȝyli.

Pierwßego ȝ nich Mułem ȝwano/ Drugiego ȝá Oſłá miano:

Jákoß nie inacȝej było/ Opißę wam krotko δȝieło.

Tych cięȝarem poδȝielono/ Káȝδemu ná grȝbiet włoȝono:

Po luδȝe Winá Włoſkiego/ Alboli teȝ Fráncuſkiego.

Cȝuł się Muł/ byδȝ obciąȝáńsȝym/ Rȝekł δo Oſła głosem miąȝßym.

Gδyby trȝyδȝieści δo mego/ Prȝyδano kwárt/ Winá twego:

To ia δwá ráȝy tak wiele/ Nioſłbym Wina/ y rȝekł śmiele.

Ȝe mu ſwego więc uδȝieli/ Trȝyδȝieści kwart/ bo ȝechceli

Ȝeby ȝ ſobą w ȝgoδȝie ȝyli/ Ná się nie krȝywo pátrȝyli.

To δopiero w rowniey bęδą/ Prȝeȝ co Bráterstwá nabęδą.

Ośieł na wßystko prȝypaδa/ Nic Mułowi nie oδpáδa:

Boiąc się Mułá wielkiego/ Ȝeȝwala ná prośbę iego:

A ták gδy ſię pogoδȝili/ Ják Brát ȝ Brátem ȝ ſobą ȝyli.

Gaδay wiele kwart właſnego/ Káȝδy ȝ nich nioſł/ Winá tego.

Czytaj dalej »

Co się dzieje z kulami, gdy jeździmy taksówką po mieście?

Każdy z nas doskonale wie, jak wygląda kula. Tak naprawdę nie musimy znać formalnej definicji, żeby kulę w każdym przypadku bezbłędnie rozpoznać. Skąd więc tak dziwnie postawione w tytule pytanie? Czy kula może się zmieniać gdy ”jeździmy taksówka po mieście”?

Aby odpowiedzieć sobie na to nietypowe pytanie, zastanówmy się najpierw, czym kula w matematyce jest. Otóż kulą o środku O i promieniu r nazwać możemy taki zbiór punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r. Zauważmy, że aby zdefiniować kulę potrzebowaliśmy pojęcia odległości. Gdy każde dwa punkty przestrzeni albo płaszczyzny (bo kulę możemy utworzyć również na płaszczyźnie) łączy „prosta droga”, wtedy nie ma żadnego problemu. To jak wygląda kula jest bliskie naszej intuicji – wystarczy rzut oka na poniższy rysunek i wszystko jest jasne.

Wyznaczmy w układzie współrzędnych kulę o środku w punkcie (1,1) i promieniu 2. Jest ona oczywiście kołem. Brzeg koła (okrąg) jest narysowany linią przerywaną, ponieważ w dziale matematyki zajmującym się m.in.  odległościami – topologią – kulę definiuje się bez brzegu (jest to tak zwana kula otwarta). To czy kula ma brzeg, czy nie, nie będzie miało zresztą znaczenia dla naszych dalszych rozważań.

Powiedzieliśmy, że w omawianym przez nas przypadku każde dwa punkty łączy „prosta droga”. Mamy wtedy do czynienia z metryką naturalną, zwaną również euklidesową - metryką, czyli, mówiąc najogólniej, sposobem mierzenia odległości.

Niewiele jest jednak w codziennym życiu takich sytuacji, że aby dostać się z pewnego miejsca do innego, wystarczy przejść „prostą drogą”. Załóżmy na przykład, że znajdujemy się w taksówce jadącej ulicami miasta i wyjeżdżając z punktu A, chcemy trafić do punktu B, tak jak na poniższym rysunku.

Aby to zrobić, musimy najpierw udać się do najbliższego skrzyżowania, a następnie pojechać prostopadle do dotychczasowego kierunku. Widzimy, że odległość między tymi dwoma punktami jest mierzona inaczej niż „prostą drogą”. W ten sposób połączymy każde dwa punkty miasta – poruszając się prostopadłymi ulicami. Taki sposób mierzenia odległości nazywany jest metryką miejską lub taksówkową.

Jak w metryce taksówkowej wygląda kula? Gdy ustalimy, że środkiem naszej kuli jest punkt (1,1) i  interesują  nas wszystkie punkty miasta, do których można dotrzeć przejeżdżając mniej niż 2 kilometry, wtedy nasza kula będzie… wnętrzem kwadratu, jak na poniższym rysunku.

Innym ciekawym sposobem mierzenia odległości jest tak zwana metryka rzeki.

Załóżmy, że chcemy dostać się z punktu A do punktu B, położonych na dwóch brzegach rzeki, tak jak to widać poniżej:

Podróżujemy najpierw najkrótszą drogą z punktu A do brzegu rzeki (rzutujemy punkt na prostą), następnie wzdłuż jej brzegów, aż znajdziemy się na wysokości punktu B, a po wyjściu na ląd, podążmy prosto do niego. Kula w takiej metryce wygląda bardzo nietypowo – przedstawia ją poniższy rysunek:

Tak jak w poprzednich przypadkach, wykres obrazuje zbiór wszystkich punktów oddalonych od punktu (1,1) o mniej niż 2 kilometry. Rzeką w tym przypadku jest oś OY.

Jak widać, odległość możemy mierzyć na wiele sposobów. Różnych metryk jest niezliczona ilość. Metryka w topologii, to po prostu funkcja spełniająca pewne warunki (nie będziemy ich tutaj wymieniać – zainteresowanych odsyłam na przykład TU). Wystarczy więc, że wymyślimy jakąś funkcję, która je spełnia i już mamy kolejny sposób mierzenia odległości.

Szczególnym przypadkiem takiej funkcji jest metryka dyskretna. Przyjmuje się w niej, że odległość pomiędzy dwoma różnymi punktami jest równa 1, a odległość punktu od samego siebie – 0. Odpowiedź na pytanie, jak w tej metryce wygląda kula, pozostawiam dla Ciebie. J

Czytaj dalej »

Jak obliczyć pole kleksa?

Właściwie każdy z nas bez większych problemów potrafi przypomnieć sobie wzór na pole danej figury. Wiemy, że pole prostokąta obliczymy mnożąc przez siebie długości jego boków, a więc

P = a∙b.

Pole trójkąta z kolei można obliczyć stosując wzór

P=1/2∙a∙h,

gdzie a jest długością podstawy, a h wysokością tego trójkąta. Obliczanie pól figur geometrycznych to jedna z bardziej lubianych przez uczniów dziedzin matematyki.

Co jednak zrobić, gdy figura, której pole mamy wyznaczyć jest całkowicie przypadkowa i nieregularna? Taki na przykład widoczny na naszej grafice kleks? W tej sytuacji, żadnego wzoru oczywiście nie ma i być nie może.

Z pomocą przychodzi jednak metoda podana przez żyjącego na przełomie XIX i XX wieku francuskiego matematyka Marie Ennemonda Camille’a Jordana. Otóż na figurę, której powierzchnię mamy zmierzyć należy nałożyć siatkę kwadratów o boku 1 jednostki, tak jak na poniższym rysunku:

Następnie obrysowujemy figurę kwadratami, w sumie których ona się zawiera. Na rysunku oznaczono je czarną obramówką. Gdy policzymy wszystkie te kwadraty okaże się, że jest ich 16, więc pole naszej figury na pewno jest mniejsze od 16 jednostek. Teraz policzmy zaznaczone żółtą obwódką kwadraty, które zawierają się w naszej figurze. Są 2 takie kwadraty, a zatem pole kleksa jest większe od 2.

Możemy to zapisać tak:

2 < P < 16

Kolejnym krokiem jest podzielenie kwadratów jednostkowych na mniejsze kwadraty. Poniższa grafika pokazuje jak będzie wyglądała nasza siatka po podzieleniu każdego kwadratu na cztery mniejsze kwadraciki.

Policzmy kwadraty zaznaczone na czarno, czyli te, w których zawiera się kleks. Jest ich 55. Pamiętamy, że każdy z nich jest ćwiartką kwadratu jednostkowego, więc pole naszej figury na pewno jest mniejsze od ułamka 55/4, czyli 13,75. Sprawdźmy teraz ile jest kwadratów zawierających się w kleksie (zaznaczonych na żółto). Ich ilość to 19. Dzieląc tę liczbę tak jak poprzednio przez 4 (bo w tym kroku każdy kwadrat jednostkowy podzieliliśmy na cztery mniejsze) otrzymamy w przybliżeniu 4,75.

Możemy więc zapisać, że:

4,75 < P < 13,75

Jeszcze raz podzielmy każdy z tych kwadratów na cztery ćwiartki. Nasza siatka będzie wyglądała teraz tak:

Kwadratów w których kleks się zawiera jest 163, a kwadratów zawartych w kleksie – 83. Każdy z nich to 1/16 kwadratu wyjściowego, czyli 83/16 < P < 163/16.

Mamy więc (w przybliżeniu):

5,19 < P < 10,19

Zauważmy, że przedział, w którym znajduje się pole nieco się zawęził.

Kolejna iteracja da nam siatkę jak na poniższym rysunku:

Obliczenie czarnych i żółtych kwadratów (każdy z nich to 1/64 kwadratu jednostkowego) doprowadzi nas do konkluzji, że 420/64 < P < 590/64, a więc:

6,56 < P < 9,22

I znów przedział, w którym może być pole stał się trochę węższy. To jak zmieniają się jego krańce przedstawia poniższy wykres:

Możemy tak postępować w nieskończoność – zresztą w tym sposobie właśnie o to chodzi. Gdy uważnie przyjrzymy się wykresowi, zauważymy, że czarna linia od góry zbliża się do pewnej liczby i żółta linia również zbliża się do tej liczby, tyle że od dołu. Ta liczba to właśnie pole naszego kleksa.

Czytaj dalej »

Leonhard Euler i królewieckie mosty

Przed świętami mogliśmy przeczytać o najpiękniejszym wzorze matematyki, podanym w XVIII wieku przez Leonharda Eulera. Nie jest to wszak jedyne osiągnięcie tego wybitnego matematyka. Jego wkład w rozwój matematyki jest tak wielki, że współczesny mu Pierre Simon de Laplace miał wyrazić się na jego temat "Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich".

Leonhard Euler dzięki stworzonym przez siebie licznym podręcznikom spopularyzował wiele konwencji zapisu matematycznego, miał olbrzymi wkład do analizy matematycznej i analizy zespolonej (włączając najpiękniejszy wzór matematyki), przyczynił się do rozwoju teorii liczb dowodząc wielu jej twierdzeń, odnosił sukcesy na polu matematyki stosowanej, fizyki, astronomii, a także logiki.

Tym co jednak stawia Eulera w szeregu wielkich twórców i odkrywców jest badane przez niego zagadnienie mostów królewieckich, które zapoczątkowało rozwój teorii grafów. Czego dotyczył ten problem i dlaczego stał się tak ważny dla rozwoju matematyki?

W XVIII wieku, w czasach, gdy Euler zajmował się problemem mostów, Kaliningrad, będący wówczas Królewcem, a nazywany również Königsbergiem należał do Królestwa Prus. Wyspy leżące na przepływającej przez miasto Pregole połączone były między sobą i z brzegami rzeki siedmioma mostami w sposób przedstawiony na poniższej grafice.

Problemem, nad którym pracował szwajcarski matematyk było ustalenie trasy wędrówki po Królewcu w taki sposób, by odwiedzić każdy z siedmiu mostów i przejść przez niego tylko raz. Na gruncie teoretycznym rozmieszczenie mostów można przedstawić w postaci grafu, takiego jak na rysunku, gdzie węzły są wyspami i brzegami Pregoły, a linie (krawędzie grafu) drogami prowadzącymi do nich, czyli mostami Królewca.

Euler wykazał, że taki spacer jest niemożliwy, a decyduje o tym nieparzysta ilość krawędzi wychodzących z każdego węzła (z każdego miejsca w Königsbergu wyprowadzają nas 3 lub 5 mostów). Rozważając ogólniejszy problem - jakie warunki musi spełnić graf (topografia miasta) aby taka wędrówka była możliwa - Euler doszedł do wniosku, że liczba węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi musi być równa 0 lub 2, w przeciwnym razie, sytuacja będzie podobna do królewieckiej.

Tak powstała, potężnie dziś rozbudowana, teoria grafów. Dodać jeszcze należy, że całe zagadnienie opublikował Euler w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, która obecnie uznawana jest za pierwszą opisującą ten nowy wówczas dział matematyki.

Czytaj dalej »